Theorem lspf 13514

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspf	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Proof of Theorem lspf

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 13513	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}))
5		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
6		ssrab2 3242	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆)
8	1, 2	lss1 13487	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
9		elpwi 3586	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑠 ⊆ 𝑉)
10		sseq2 3181	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑉 → (𝑠 ⊆ 𝑝 ↔ 𝑠 ⊆ 𝑉))
11	10	rspcev 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
13		rabn0m 3452	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝})
15	2	lssintclm 13509	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1238	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
17	4, 16	fmpt3d 5675	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3131  𝒫 cpw 3577  ∩ cint 3846  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  Basecbs 12465  LModclmod 13415  LSubSpclss 13480  LSpanclspn 13511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12826  df-grp 12888  df-minusg 12889  df-sbg 12890  df-mgp 13147  df-ur 13181  df-ring 13219  df-lmod 13417  df-lssm 13481  df-lsp 13512

This theorem is referenced by:  lspcl  13516