Theorem lspf 13945

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspf	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Proof of Theorem lspf

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 13944	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}))
5		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
6		ssrab2 3268	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆)
8	1, 2	lss1 13918	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
9		elpwi 3614	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑠 ⊆ 𝑉)
10		sseq2 3207	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑉 → (𝑠 ⊆ 𝑝 ↔ 𝑠 ⊆ 𝑉))
11	10	rspcev 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
13		rabn0m 3478	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝})
15	2	lssintclm 13940	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
17	4, 16	fmpt3d 5718	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3605  ∩ cint 3874  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  LModclmod 13843  LSubSpclss 13908  LSpanclspn 13942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943

This theorem is referenced by:  lspcl  13947