Theorem lspf 13635

Description: The span function on a left module maps subsets to subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspf	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Proof of Theorem lspf

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 13634	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}))
5		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
6		ssrab2 3252	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆)
8	1, 2	lss1 13608	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
9		elpwi 3596	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑠 ⊆ 𝑉)
10		sseq2 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑉 → (𝑠 ⊆ 𝑝 ↔ 𝑠 ⊆ 𝑉))
11	10	rspcev 2853	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
12	8, 9, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
13		rabn0m 3462	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑆 𝑠 ⊆ 𝑝)
14	12, 13	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝})
15	2	lssintclm 13630	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝}) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
16	5, 7, 14, 15	syl3anc 1248	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∩ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑝} ∈ 𝑆)
17	4, 16	fmpt3d 5685	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466  {crab 2469   ⊆ wss 3141  𝒫 cpw 3587  ∩ cint 3856  ⟶wf 5224  ‘cfv 5228  Basecbs 12476  LModclmod 13533  LSubSpclss 13598  LSpanclspn 13632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12909  df-minusg 12910  df-sbg 12911  df-mgp 13230  df-ur 13269  df-ring 13307  df-lmod 13535  df-lssm 13599  df-lsp 13633

This theorem is referenced by:  lspcl  13637