Theorem fi0 7309

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	⊢ (fi‘∅) = ∅

Proof of Theorem fi0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		fival 7304	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (fi‘∅) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (fi‘∅) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥}
4		vprc 4265	. . . 4 ⊢ ¬ V ∈ V
5		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∩ 𝑥 → 𝑦 = ∩ 𝑥)
6		elinel1 3415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
7		elpwi 3698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ⊆ ∅)
8		ss0 3563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
10	9	inteqd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
11		int0 3984	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ∩ 𝑥 = V)
13	5, 12	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑦 = V)
14	13	rexlimiva 2663	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 → 𝑦 = V)
15		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
16	14, 15	eqeltrrdi 2330	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 → V ∈ V)
17	4, 16	mto 672	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥
18	17	abf 3570	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} = ∅
19	3, 18	eqtri 2259	1 ⊢ (fi‘∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  ∩ cint 3970  ‘cfv 5377  Fincfn 7022  ficfi 7302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-fi 7303

This theorem is used by:  fieq0  7310