Theorem fi0 7050

Description: The set of finite intersections of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fi0	⊢ (fi‘∅) = ∅

Proof of Theorem fi0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4161	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		fival 7045	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (fi‘∅) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (fi‘∅) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥}
4		vprc 4166	. . . 4 ⊢ ¬ V ∈ V
5		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∩ 𝑥 → 𝑦 = ∩ 𝑥)
6		elinel1 3350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
7		elpwi 3615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ⊆ ∅)
8		ss0 3492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
10	9	inteqd 3880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
11		int0 3889	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
12	10, 11	eqtrdi 2245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ∩ 𝑥 = V)
13	5, 12	sylan9eqr 2251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑦 = V)
14	13	rexlimiva 2609	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 → 𝑦 = V)
15		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
16	14, 15	eqeltrrdi 2288	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 → V ∈ V)
17	4, 16	mto 663	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥
18	17	abf 3495	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} = ∅
19	3, 18	eqtri 2217	1 ⊢ (fi‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  𝒫 cpw 3606  ∩ cint 3875  ‘cfv 5259  Fincfn 6808  ficfi 7043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-fi 7044

This theorem is referenced by:  fieq0  7051