ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdilem2 GIF version

Theorem lgsdilem2 13692
Description: Lemma for lgsdi 13693. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsdilem2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lgsdilem2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
lgsdilem2.4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
lgsdilem2.5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid1 7906 . . 3 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 1) = 𝑘)
21adantl 275 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5 nnabscl 11053 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
63, 4, 5syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
7 nnuz 9511 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7eleqtrdi 2263 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ‘1))
96nnzd 9322 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
113, 10zmulcld 9329 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
123zcnd 9324 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1310zcnd 9324 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
14 0z 9212 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
15 zapne 9275 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
163, 14, 15sylancl 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
174, 16mpbird 166 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 # 0)
18 lgsdilem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
19 zapne 9275 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
2010, 14, 19sylancl 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
2118, 20mpbird 166 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 # 0)
2212, 13, 17, 21mulap0d 8565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) # 0)
23 zapne 9275 . . . . . . 7 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
2411, 14, 23sylancl 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
2522, 24mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
26 nnabscl 11053 . . . . 5 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
2711, 25, 26syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
2827nnzd 9322 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
2912abscld 11134 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
3013abscld 11134 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
3112absge0d 11137 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑀))
32 nnabscl 11053 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
3310, 18, 32syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
3433nnge1d 8910 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘𝑁))
3529, 30, 31, 34lemulge11d 8842 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
3612, 13absmuld 11147 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
3735, 36breqtrrd 4015 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
38 eluz2 9482 . . 3 ((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
399, 28, 37, 38syl3anbrc 1176 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)))
40 1zzd 9228 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
41 lgsdilem2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
42 lgsdilem2.6 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
4342lgsfcl3 13677 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
4441, 3, 4, 43syl3anc 1233 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℤ)
4544ffvelrnda 5629 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
46 zmulcl 9254 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
4746adantl 275 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
487, 40, 45, 47seqf 10406 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℤ)
4948, 6ffvelrnd 5630 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
5049zcnd 9324 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
51 eleq1w 2231 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
52 oveq2 5859 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
53 oveq1 5858 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
5452, 53oveq12d 5869 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
5551, 54ifbieq1d 3547 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
566peano2nnd 8882 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
57 elfzuz 9966 . . . . 5 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1)))
58 eluznn 9548 . . . . 5 ((((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5956, 57, 58syl2an 287 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
6041ad2antrr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
61 prmz 12054 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
6261adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
63 lgscl 13670 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
6460, 62, 63syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
65 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
663ad2antrr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
674ad2antrr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
68 pczcl 12241 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ0)
6965, 66, 67, 68syl12anc 1231 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ0)
70 zexpcl 10480 . . . . . 6 (((𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ0) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ ℤ)
7164, 69, 70syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ ℤ)
72 1zzd 9228 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
73 prmdc 12073 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
7459, 73syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
7571, 72, 74ifcldadc 3554 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ ℤ)
7642, 55, 59, 75fvmptd3 5587 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
77 zq 9574 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
7866, 77syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℚ)
79 pcabs 12268 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
8065, 78, 79syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
81 elfzle1 9972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
8281adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
83 elfzelz 9970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
84 zltp1le 9255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
859, 83, 84syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
8682, 85mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) < 𝑘)
87 zltnle 9247 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
889, 83, 87syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
8986, 88mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
9089adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
9166, 67, 5syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
92 dvdsle 11793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
9362, 91, 92syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
9490, 93mtod 658 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀))
95 pceq0 12264 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
9665, 91, 95syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
9794, 96mpbird 166 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0)
9880, 97eqtr3d 2205 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) = 0)
9998oveq2d 5867 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
10064zcnd 9324 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
101100exp0d 10592 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
10299, 101eqtrd 2203 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = 1)
103102, 74ifeq1dadc 3555 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1))
104 ifiddc 3558 . . . . 5 (DECID 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1)
10574, 104syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1)
106103, 105eqtrd 2203 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
10776, 106eqtrd 2203 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = 1)
10844adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
109 elnnuz 9512 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
110109biimpri 132 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
111110adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
112108, 111ffvelrnd 5630 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
113112zcnd 9324 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
114 mulcl 7890 . . 3 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℂ)
115114adantl 275 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℂ)
1162, 8, 39, 50, 107, 113, 115seq3id2 10454 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  ifcif 3525   class class class wbr 3987  cmpt 4048  wf 5192  cfv 5196  (class class class)co 5851  cc 7761  0cc0 7763  1c1 7764   + caddc 7766   · cmul 7768   < clt 7943  cle 7944   # cap 8489  cn 8867  0cn0 9124  cz 9201  cuz 9476  cq 9567  ...cfz 9954  seqcseq 10390  cexp 10464  abscabs 10950  cdvds 11738  cprime 12050   pCnt cpc 12227   /L clgs 13653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-oadd 6397  df-er 6510  df-en 6716  df-dom 6717  df-fin 6718  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-5 8929  df-6 8930  df-7 8931  df-8 8932  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-ihash 10699  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-clim 11231  df-proddc 11503  df-dvds 11739  df-gcd 11887  df-prm 12051  df-phi 12154  df-pc 12228  df-lgs 13654
This theorem is referenced by:  lgsdi  13693
  Copyright terms: Public domain W3C validator