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Theorem lgsdilem2 14407
Description: Lemma for lgsdi 14408. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
lgsdilem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lgsdilem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
lgsdilem2.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
lgsdilem2.5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables π‘˜ 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulrid 7953 . . 3 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
21adantl 277 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
5 nnabscl 11108 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
63, 4, 5syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
7 nnuz 9562 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
86, 7eleqtrdi 2270 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
96nnzd 9373 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„€)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
113, 10zmulcld 9380 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€)
123zcnd 9375 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1310zcnd 9375 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
14 0z 9263 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
15 zapne 9326 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 β‰  0))
163, 14, 15sylancl 413 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 β‰  0))
174, 16mpbird 167 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 # 0)
18 lgsdilem2.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
19 zapne 9326 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 β‰  0))
2010, 14, 19sylancl 413 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 β‰  0))
2118, 20mpbird 167 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 # 0)
2212, 13, 17, 21mulap0d 8614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) # 0)
23 zapne 9326 . . . . . . 7 (((𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 Β· 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0))
2411, 14, 23sylancl 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0))
2522, 24mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0)
26 nnabscl 11108 . . . . 5 (((𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
2711, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
2827nnzd 9373 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
2912abscld 11189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
3013abscld 11189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3112absge0d 11192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘€))
32 nnabscl 11108 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
3310, 18, 32syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
3433nnge1d 8961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (absβ€˜π‘))
3529, 30, 31, 34lemulge11d 8893 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘)))
3612, 13absmuld 11202 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘)))
3735, 36breqtrrd 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
38 eluz2 9533 . . 3 ((absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(absβ€˜π‘€)) ↔ ((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘€) ≀ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
399, 28, 37, 38syl3anbrc 1181 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(absβ€˜π‘€)))
40 1zzd 9279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
41 lgsdilem2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
42 lgsdilem2.6 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
4342lgsfcl3 14392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
4441, 3, 4, 43syl3anc 1238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
4544ffvelcdmda 5651 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
46 zmulcl 9305 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑣 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑣) ∈ β„€)
4746adantl 277 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑣 ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑣) ∈ β„€)
487, 40, 45, 47seqf 10460 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„€)
4948, 6ffvelcdmd 5652 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) ∈ β„€)
5049zcnd 9375 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
51 eleq1w 2238 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
52 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L π‘˜))
53 oveq1 5881 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑀) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
5452, 53oveq12d 5892 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
5551, 54ifbieq1d 3556 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
566peano2nnd 8933 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ∈ β„•)
57 elfzuz 10020 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((absβ€˜π‘€) + 1)))
58 eluznn 9599 . . . . 5 ((((absβ€˜π‘€) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((absβ€˜π‘€) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5956, 57, 58syl2an 289 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6041ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
61 prmz 12110 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6261adantl 277 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
63 lgscl 14385 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
6460, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
65 simpr 110 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
663ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
674ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 β‰  0)
68 pczcl 12297 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0)
6965, 66, 67, 68syl12anc 1236 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0)
70 zexpcl 10534 . . . . . 6 (((𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€ ∧ (π‘˜ pCnt 𝑀) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) ∈ β„€)
7164, 69, 70syl2anc 411 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) ∈ β„€)
72 1zzd 9279 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 1 ∈ β„€)
73 prmdc 12129 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ DECID π‘˜ ∈ β„™)
7459, 73syl 14 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ DECID π‘˜ ∈ β„™)
7571, 72, 74ifcldadc 3563 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) ∈ β„€)
7642, 55, 59, 75fvmptd3 5609 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
77 zq 9625 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
7866, 77syl 14 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
79 pcabs 12324 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
8065, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
81 elfzle1 10026 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜)
8281adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜)
83 elfzelz 10024 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
84 zltp1le 9306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜))
859, 83, 84syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜))
8682, 85mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (absβ€˜π‘€) < π‘˜)
87 zltnle 9298 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
889, 83, 87syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
8986, 88mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€))
9089adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€))
9166, 67, 5syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
92 dvdsle 11849 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
9362, 91, 92syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
9490, 93mtod 663 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€))
95 pceq0 12320 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€)))
9665, 91, 95syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€)))
9794, 96mpbird 167 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0)
9880, 97eqtr3d 2212 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) = 0)
9998oveq2d 5890 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑0))
10064zcnd 9375 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
101100exp0d 10647 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑0) = 1)
10299, 101eqtrd 2210 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) = 1)
103102, 74ifeq1dadc 3564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1))
104 ifiddc 3568 . . . . 5 (DECID π‘˜ ∈ β„™ β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1) = 1)
10574, 104syl 14 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1) = 1)
106103, 105eqtrd 2210 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = 1)
10776, 106eqtrd 2210 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
10844adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
109 elnnuz 9563 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
110109biimpri 133 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
111110adantl 277 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
112108, 111ffvelcdmd 5652 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
113112zcnd 9375 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
114 mulcl 7937 . . 3 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝑣) ∈ β„‚)
115114adantl 277 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑣) ∈ β„‚)
1162, 8, 39, 50, 107, 113, 115seq3id2 10508 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  ifcif 3534   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   Β· cmul 7815   < clt 7991   ≀ cle 7992   # cap 8537  β„•cn 8918  β„•0cn0 9175  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  β„šcq 9618  ...cfz 10007  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518  abscabs 11005   βˆ₯ cdvds 11793  β„™cprime 12106   pCnt cpc 12283   /L clgs 14368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107  df-phi 12210  df-pc 12284  df-lgs 14369
This theorem is referenced by:  lgsdi  14408
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