ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ifcldadc GIF version

Theorem ifcldadc 3501
Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
ifcldadc.1 ((𝜑𝜓) → 𝐴𝐶)
ifcldadc.2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵𝐶)
ifcldadc.dc (𝜑DECID 𝜓)
Assertion
Ref Expression
ifcldadc (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ifcldadc
StepHypRef Expression
1 iftrue 3479 . . . 4 (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
21adantl 275 . . 3 ((𝜑𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3 ifcldadc.1 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐴𝐶)
42, 3eqeltrd 2216 . 2 ((𝜑𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
5 iffalse 3482 . . . 4 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
65adantl 275 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7 ifcldadc.2 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵𝐶)
86, 7eqeltrd 2216 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
9 ifcldadc.dc . . 3 (𝜑DECID 𝜓)
10 exmiddc 821 . . 3 (DECID 𝜓 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
119, 10syl 14 . 2 (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
124, 8, 11mpjaodan 787 1 (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  ifcif 3474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-if 3475
This theorem is referenced by:  updjudhf  6964  omp1eomlem  6979  difinfsnlem  6984  ctmlemr  6993  ctssdclemn0  6995  ctssdc  6998  enumctlemm  6999  xaddf  9634  xaddval  9635  iseqf1olemqcl  10266  iseqf1olemnab  10268  iseqf1olemjpcl  10275  iseqf1olemqpcl  10276  seq3f1oleml  10283  seq3f1o  10284  exp3val  10302  xrmaxiflemcl  11021  summodclem2a  11157  zsumdc  11160  fsum3  11163  isumss  11167  fsum3cvg2  11170  fsum3ser  11173  fsumcl2lem  11174  fsumadd  11182  sumsnf  11185  sumsplitdc  11208  fsummulc2  11224  isumlessdc  11272  cvgratz  11308  prodmodclem3  11351  prodmodclem2a  11352  eucalgval2  11741  lcmval  11751  ennnfonelemg  11923  subctctexmid  13226
  Copyright terms: Public domain W3C validator