Theorem ifcldadc 3565

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝐶)
ifcldadc.2	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵 ∈ 𝐶)
ifcldadc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3541	. . . 4 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		ifcldadc.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝐶)
4	2, 3	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
5		iffalse 3544	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7		ifcldadc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵 ∈ 𝐶)
8	6, 7	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
9		ifcldadc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
10		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID 𝜓 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
12	4, 8, 11	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ifcif 3536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-if 3537

This theorem is referenced by:  updjudhf  7080  omp1eomlem  7095  difinfsnlem  7100  ctmlemr  7109  ctssdclemn0  7111  ctssdc  7114  enumctlemm  7115  xaddf  9846  xaddval  9847  iseqf1olemqcl  10488  iseqf1olemnab  10490  iseqf1olemjpcl  10497  iseqf1olemqpcl  10498  seq3f1oleml  10505  seq3f1o  10506  exp3val  10524  xrmaxiflemcl  11255  summodclem2a  11391  zsumdc  11394  fsum3  11397  isumss  11401  fsum3cvg2  11404  fsum3ser  11407  fsumcl2lem  11408  fsumadd  11416  sumsnf  11419  sumsplitdc  11442  fsummulc2  11458  isumlessdc  11506  cvgratz  11542  prodmodclem3  11585  prodmodclem2a  11586  zproddc  11589  fprodseq  11593  fprodmul  11601  prodsnf  11602  eucalgval2  12055  lcmval  12065  pcmpt  12343  ennnfonelemg  12406  mulgval  12991  mulgfng  12992  lgsval  14490  lgsfvalg  14491  lgsfcl2  14492  lgscllem  14493  lgsval2lem  14496  lgsdir  14521  lgsdilem2  14522  lgsdi  14523  lgsne0  14524  subctctexmid  14835