Theorem ifcldadc 3599

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝐶)
ifcldadc.2	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵 ∈ 𝐶)
ifcldadc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3575	. . . 4 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		ifcldadc.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝐶)
4	2, 3	eqeltrd 2281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
5		iffalse 3578	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7		ifcldadc.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵 ∈ 𝐶)
8	6, 7	eqeltrd 2281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
9		ifcldadc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
10		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝜓 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
12	4, 8, 11	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ifcif 3570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-11 1528  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-if 3571

This theorem is referenced by:  updjudhf  7163  omp1eomlem  7178  difinfsnlem  7183  ctmlemr  7192  ctssdclemn0  7194  ctssdc  7197  enumctlemm  7198  xaddf  9948  xaddval  9949  iseqf1olemqcl  10625  iseqf1olemnab  10627  iseqf1olemjpcl  10634  iseqf1olemqpcl  10635  seq3f1oleml  10642  seq3f1o  10643  exp3val  10667  ccatcl  11024  xrmaxiflemcl  11475  summodclem2a  11611  zsumdc  11614  fsum3  11617  isumss  11621  fsum3cvg2  11624  fsum3ser  11627  fsumcl2lem  11628  fsumadd  11636  sumsnf  11639  sumsplitdc  11662  fsummulc2  11678  isumlessdc  11726  cvgratz  11762  prodmodclem3  11805  prodmodclem2a  11806  zproddc  11809  fprodseq  11813  fprodmul  11821  prodsnf  11822  eucalgval2  12294  lcmval  12304  pcmpt  12585  ennnfonelemg  12693  mulgval  13376  mulgfng  13378  elplyd  15131  dvply1  15155  lgsval  15399  lgsfvalg  15400  lgsfcl2  15401  lgscllem  15402  lgsval2lem  15405  lgsdir  15430  lgsdilem2  15431  lgsdi  15432  lgsne0  15433  subctctexmid  15801