Theorem lgsneg 16057

Description: The Legendre symbol is either even or odd under negation with respect to the second parameter according to the sign of the first. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsneg

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
3	2	oveq1d 6090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
4		simpl2 1032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		0z 9634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zdclt 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
7	5, 6	mpan2 429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 < 0)
8		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · -1))
9		neg1mulneg1e1 9496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 · -1) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = 1)
11		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · 1))
12		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	mulm1i 8720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 · 1) = -1
14	11, 13	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = -1)
15	10, 14	ifsbdc 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = if(𝑁 < 0, 1, -1))
16	7, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = if(𝑁 < 0, 1, -1))
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = if(𝑁 < 0, 1, -1))
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
19	18	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
20	19	ifbid 3659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
21	20	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
22		simpl3 1033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ≠ 0)
23	22	necomd 2506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝑁)
24		zltlen 9703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≠ 𝑁)))
25	4, 5, 24	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≠ 𝑁)))
26	23, 25	mpbiran2d 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ 𝑁 ≤ 0))
27	4	zred 9747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	27	le0neg1d 8835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
29		0re 8316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	27	renegcld 8697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑁 ∈ ℝ)
31		lenlt 8391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
32	29, 30, 31	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
33	26, 28, 32	3bitrd 214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
34	33	ifbid 3659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1))
35		znegcl 9654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
36		zdclt 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID -𝑁 < 0)
37	35, 5, 36	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID -𝑁 < 0)
38		ifnotdc 3676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID -𝑁 < 0 → if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
40	4, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
41	34, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
42	17, 21, 41	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
43	18	biantrud 304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑁 < 0 ↔ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
44	43	ifbid 3659	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(-𝑁 < 0, -1, 1) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
45	3, 42, 44	3eqtrd 2275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
46		1t1e1 9436	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
47		iffalse 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
48	47	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
50	49	intnand 943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
51	50	iffalsed 3647	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
52	48, 51	oveq12d 6093	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (1 · 1))
53	49	intnand 943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
54	53	iffalsed 3647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
55	46, 52, 54	3eqtr4a 2297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
56		simp1 1028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
57		zdclt 9701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
58	56, 5, 57	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝐴 < 0)
59		exmiddc 848	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∨ ¬ 𝐴 < 0))
60	58, 59	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ ¬ 𝐴 < 0))
61	45, 55, 60	mpjaodan 810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
62	61	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
63		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
64		simpl2 1032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
65		zq 10005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℚ)
67		pcneg 13082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
68	63, 66, 67	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
69	68	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
70	69	adantlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
71		prmdc 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
73	70, 72	ifeq1dadc 3668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
74	73	mpteq2dva 4216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
75	74	seqeq3d 10870	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
76		zcn 9628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
77	76	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
78	77	absnegd 11933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘-𝑁) = (abs‘𝑁))
79	75, 78	fveq12d 5697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))
80	62, 79	oveq12d 6093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))) = ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
81		neg1cn 9388	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
82	81	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -1 ∈ ℂ)
83	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 58	ifcldcd 3675	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
85	7	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝑁 < 0)
86		dcan2 947	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
87	85, 58, 86	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
88	82, 83, 87	ifcldcd 3675	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
89		nnuz 9937	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
90		1zzd 9650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
91		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
92	91	lgsfcl3 16054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
93	92	ffvelcdmda 5834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑥) ∈ ℤ)
94		zmulcl 9677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
95	94	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
96	89, 90, 93, 95	seqf 10879	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
97		nnabscl 11844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
98	97	3adant1 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
99	96, 98	ffvelcdmd 5835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
100	99	zcnd 9748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
101	84, 88, 100	mulassd 8339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
102	80, 101	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
103	35	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
104		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
105	77, 104	negne0d 8625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -𝑁 ≠ 0)
106		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))
107	106	lgsval4 16053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))))
108	56, 103, 105, 107	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))))
109	91	lgsval4 16053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
110	109	oveq2d 6091	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
111	102, 108, 110	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ifcif 3635   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351  -cneg 8488  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ℚcq 9998  seqcseq 10862  ↑cexp 10953  abscabs 11741  ℙcprime 12863   pCnt cpc 13041   /_L clgs 16030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-proddc 12296  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-phi 12967  df-pc 13042  df-lgs 16031

This theorem is referenced by:  lgsneg1  16058