Theorem isumss 11192

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sumss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
isumss.bdc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2140	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumss.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sumss.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		sumss.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	sstrd 3112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	ralrimiva 2508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
12	11	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
13		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
14	13	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
15	12, 14	rspc 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17		0cnd 7783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐴))
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
22	19, 21, 6	rspcdva 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
23	16, 17, 22	ifcldadc 3506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
24		nfcv 2282	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
25		nfv 1509	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
26		nfcv 2282	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	25, 11, 26	nfif 3505	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
28		eleq1w 2201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
29	28, 13	ifbieq1d 3499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
30		eqid 2140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
32	6, 23, 31	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
33		eqid 2140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
34	33	fvmpts 5507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
35	7, 16, 34	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
36	35, 22	ifeq1dadc 3507	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
37	32, 36	eqtr4d 2176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
38	8	fmpttd 5583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelrnda 5563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 11185	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
41		dfss1 3285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
42	3, 41	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
43	42	eleq2d 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
44		elin 3264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴))
45	43, 44	bitr3di 194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑚 ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴)))
47	46	ifbid 3498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
48		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
49	16	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
50		eqid 2140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
51	50	fvmpts 5507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
52	48, 49, 51	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
53		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
54	53	iftrued 3486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
55	52, 54	eqtr4d 2176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
56		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
57		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eldifd 3086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
60	59	ralrimiva 2508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
61	60	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
62	11	nfeq1 2292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0
63	13	eqeq1d 2149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0))
64	62, 63	rspc 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0))
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0)
66		0cnd 7783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
67	65, 66	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
68	56, 67, 51	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
69	57	iffalsed 3489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2183	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
71	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
72		exmiddc 822	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑚 ∈ 𝐴 → (𝑚 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
74	55, 70, 73	mpjaodan 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
75		eleq1w 2201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
76	75	dcbid 824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐵))
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
78	77	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
79	76, 78, 6	rspcdva 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐵)
80	74, 79	ifeq1dadc 3507	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
81		ifandc 3513	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑚 ∈ 𝐵 → if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
83	80, 82	eqtr4d 2176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
85	8	adantlr 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86		simpll 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
87		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
88		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
89	87, 88	eldifd 3086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
90	86, 89, 59	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 = 0)
91		0cnd 7783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
92	90, 91	eqeltrd 2217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93		eleq1w 2201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	dcbid 824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
95	20	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
96	4	sselda 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
97	94, 95, 96	rspcdva 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
98		exmiddc 822	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
100	85, 92, 99	mpjaodan 788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101	100	fmpttd 5583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
102	101	ffvelrnda 5563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 11185	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
104	40, 103	eqtr4d 2176	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
105		sumfct 11175	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
106	9, 105	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
107	100	ralrimiva 2508	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108		sumfct 11175	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
109	107, 108	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2181	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ⦋csb 3007   ∖ cdif 3073   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ifcif 3479   ↦ cmpt 3997  ‘cfv 5131  ℂcc 7642  0cc0 7644   + caddc 7647  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  seqcseq 10249   ⇝ cli 11079  Σcsu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  fisumss  11193  isumss2  11194  binomlem  11284