Theorem isumss 11868

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sumss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
isumss.bdc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumss.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sumss.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		sumss.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	sstrd 3214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	ralrimiva 2583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11		nfcsb1v 3137	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
12	11	nfel1 2363	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
13		csbeq1a 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
14	13	eleq1d 2278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
15	12, 14	rspc 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17		0cnd 8107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐴))
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
22	19, 21, 6	rspcdva 2892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
23	16, 17, 22	ifcldadc 3612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
24		nfcv 2352	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
25		nfv 1554	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
26		nfcv 2352	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	25, 11, 26	nfif 3611	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
28		eleq1w 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
29	28, 13	ifbieq1d 3605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
30		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
32	6, 23, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
33		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
34	33	fvmpts 5685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
35	7, 16, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
36	35, 22	ifeq1dadc 3613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
37	32, 36	eqtr4d 2245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
38	8	fmpttd 5763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 5743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 11861	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
41		dfss1 3388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
42	3, 41	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
43	42	eleq2d 2279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
44		elin 3367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴))
45	43, 44	bitr3di 195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑚 ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴)))
47	46	ifbid 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
49	16	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
50		eqid 2209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
51	50	fvmpts 5685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
52	48, 49, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
54	53	iftrued 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
55	52, 54	eqtr4d 2245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
56		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eldifd 3187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
60	59	ralrimiva 2583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
62	11	nfeq1 2362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0
63	13	eqeq1d 2218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0))
64	62, 63	rspc 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0))
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0)
66		0cnd 8107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
67	65, 66	eqeltrd 2286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
68	56, 67, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
69	57	iffalsed 3592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2252	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
71	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
72		exmiddc 840	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑚 ∈ 𝐴 → (𝑚 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
74	55, 70, 73	mpjaodan 802	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
75		eleq1w 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
76	75	dcbid 842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐵))
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
79	76, 78, 6	rspcdva 2892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐵)
80	74, 79	ifeq1dadc 3613	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
81		ifandc 3623	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑚 ∈ 𝐵 → if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
83	80, 82	eqtr4d 2245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
85	8	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
87		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
89	87, 88	eldifd 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
90	86, 89, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 = 0)
91		0cnd 8107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
92	90, 91	eqeltrd 2286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93		eleq1w 2270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	dcbid 842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
95	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
96	4	sselda 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
97	94, 95, 96	rspcdva 2892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
98		exmiddc 840	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
100	85, 92, 99	mpjaodan 802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101	100	fmpttd 5763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
102	101	ffvelcdmda 5743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 11861	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
104	40, 103	eqtr4d 2245	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
105		sumfct 11851	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
106	9, 105	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
107	100	ralrimiva 2583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108		sumfct 11851	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
109	107, 108	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2250	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ⦋csb 3104   ∖ cdif 3174   ∩ cin 3176   ⊆ wss 3177  ifcif 3582   ↦ cmpt 4124  ‘cfv 5294  ℂcc 7965  0cc0 7967   + caddc 7970  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  seqcseq 10636   ⇝ cli 11755  Σcsu 11830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831

This theorem is referenced by:  fisumss  11869  isumss2  11870  binomlem  11960