ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss GIF version

Theorem isumss 11413
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
sumss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
sumss.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
isumss.adc (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
sumss.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
isumss.bdc (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
isumss (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑗   𝐡,π‘˜,𝑗   𝐢,𝑗   𝑗,𝑀,π‘˜   πœ‘,π‘˜,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumss.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 sumss.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 sumss.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
53, 4sstrd 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 simpr 110 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
98ralrimiva 2560 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚)
109ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚)
11 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ
1211nfel1 2340 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
13 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐢 = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
1413eleq1d 2256 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
1512, 14rspc 2847 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚ β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
17 0cnd 7964 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
18 eleq1w 2248 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘š β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘š ∈ 𝐴))
1918dcbid 839 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘š β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘š ∈ 𝐴))
20 isumss.adc . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
2219, 21, 6rspcdva 2858 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐴)
2316, 17, 22ifcldadc 3575 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) ∈ β„‚)
24 nfcv 2329 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘š
25 nfv 1538 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐴
26 nfcv 2329 . . . . . . . 8 β„²π‘˜0
2725, 11, 26nfif 3574 . . . . . . 7 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0)
28 eleq1w 2248 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘š ∈ 𝐴))
2928, 13ifbieq1d 3568 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
30 eqid 2187 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
3124, 27, 29, 30fvmptf 5621 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
326, 23, 31syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
33 eqid 2187 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
3433fvmpts 5607 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
357, 16, 34syl2anc 411 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
3635, 22ifeq1dadc 3576 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
3732, 36eqtr4d 2223 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
388fmpttd 5684 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 5664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
401, 2, 5, 37, 20, 39zsumdc 11406 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))))
41 dfss1 3351 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
423, 41sylib 122 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4342eleq2d 2257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (𝐡 ∩ 𝐴) ↔ π‘š ∈ 𝐴))
44 elin 3330 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (𝐡 ∩ 𝐴) ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴))
4543, 44bitr3di 195 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴)))
4645adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴)))
4746ifbid 3567 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) = if((π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴), β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
48 simplr 528 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
4916adantlr 477 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
50 eqid 2187 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
5150fvmpts 5607 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5248, 49, 51syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
53 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
5453iftrued 3553 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5552, 54eqtr4d 2223 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
56 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
57 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
5856, 57eldifd 3151 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴))
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
6059ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 0)
6160ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 0)
6211nfeq1 2339 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 0
6313eqeq1d 2196 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 = 0 ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 0))
6462, 63rspc 2847 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 0 β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 0))
6558, 61, 64sylc 62 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 0)
66 0cnd 7964 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
6765, 66eqeltrd 2264 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
6856, 67, 51syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
6957iffalsed 3556 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) = 0)
7065, 68, 693eqtr4d 2230 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
7122adantr 276 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐴)
72 exmiddc 837 . . . . . . . . 9 (DECID π‘š ∈ 𝐴 β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7455, 70, 73mpjaodan 799 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
75 eleq1w 2248 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘š β†’ (𝑗 ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
7675dcbid 839 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘š β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐡 ↔ DECID π‘š ∈ 𝐡))
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
7877adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐡)
7976, 78, 6rspcdva 2858 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘š ∈ 𝐡)
8074, 79ifeq1dadc 3576 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0) = if(π‘š ∈ 𝐡, if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0), 0))
81 ifandc 3584 . . . . . . 7 (DECID π‘š ∈ 𝐡 β†’ if((π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴), β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) = if(π‘š ∈ 𝐡, if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0), 0))
8279, 81syl 14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if((π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴), β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0) = if(π‘š ∈ 𝐡, if(π‘š ∈ 𝐴, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0), 0))
8380, 82eqtr4d 2223 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0) = if((π‘š ∈ 𝐡 ∧ π‘š ∈ 𝐴), β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 0))
8447, 32, 833eqtr4d 2230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
858adantlr 477 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
86 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
87 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
88 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
8987, 88eldifd 3151 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴))
9086, 89, 59syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 = 0)
91 0cnd 7964 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
9290, 91eqeltrd 2264 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
93 eleq1w 2248 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
9493dcbid 839 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘˜ ∈ 𝐴))
9520adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
964sselda 3167 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9794, 95, 96rspcdva 2858 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ DECID π‘˜ ∈ 𝐴)
98 exmiddc 837 . . . . . . . 8 (DECID π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
9997, 98syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
10085, 92, 99mpjaodan 799 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
101100fmpttd 5684 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
102101ffvelcdmda 5664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1031, 2, 4, 84, 77, 102zsumdc 11406 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))))
10440, 103eqtr4d 2223 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
105 sumfct 11396 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
1069, 105syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
107100ralrimiva 2560 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚)
108 sumfct 11396 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
109107, 108syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
110104, 106, 1093eqtr3d 2228 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  β¦‹csb 3069   βˆ– cdif 3138   ∩ cin 3140   βŠ† wss 3141  ifcif 3546   ↦ cmpt 4076  β€˜cfv 5228  β„‚cc 7823  0cc0 7825   + caddc 7828  β„€cz 9267  β„€β‰₯cuz 9542  seqcseq 10459   ⇝ cli 11300  Ξ£csu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  fisumss  11414  isumss2  11415  binomlem  11505
  Copyright terms: Public domain W3C validator