Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2177 |
. . . 4
β’
(β€β₯βπ) = (β€β₯βπ) |
2 | | isumss.m |
. . . 4
β’ (π β π β β€) |
3 | | sumss.1 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π΅) |
4 | | sumss.4 |
. . . . 5
β’ (π β π΅ β (β€β₯βπ)) |
5 | 3, 4 | sstrd 3165 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β (β€β₯βπ)) |
6 | | simpr 110 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
7 | | simpr 110 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΄) β π β π΄) |
8 | | sumss.2 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β π΄) β πΆ β β) |
9 | 8 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β βπ β π΄ πΆ β β) |
10 | 9 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΄) β βπ β π΄ πΆ β β) |
11 | | nfcsb1v 3090 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²πβ¦π / πβ¦πΆ |
12 | 11 | nfel1 2330 |
. . . . . . . . 9
β’
β²πβ¦π / πβ¦πΆ β β |
13 | | csbeq1a 3066 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β πΆ = β¦π / πβ¦πΆ) |
14 | 13 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (πΆ β β β β¦π / πβ¦πΆ β β)) |
15 | 12, 14 | rspc 2835 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β (βπ β π΄ πΆ β β β β¦π / πβ¦πΆ β β)) |
16 | 7, 10, 15 | sylc 62 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΄) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
17 | | 0cnd 7949 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ Β¬ π β π΄) β 0 β β) |
18 | | eleq1w 2238 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (π β π΄ β π β π΄)) |
19 | 18 | dcbid 838 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (DECID π β π΄ β DECID π β π΄)) |
20 | | isumss.adc |
. . . . . . . . 9
β’ (π β βπ β (β€β₯βπ)DECID π β π΄) |
21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β
(β€β₯βπ)DECID π β π΄) |
22 | 19, 21, 6 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β DECID
π β π΄) |
23 | 16, 17, 22 | ifcldadc 3563 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0) β β) |
24 | | nfcv 2319 |
. . . . . . 7
β’
β²ππ |
25 | | nfv 1528 |
. . . . . . . 8
β’
β²π π β π΄ |
26 | | nfcv 2319 |
. . . . . . . 8
β’
β²π0 |
27 | 25, 11, 26 | nfif 3562 |
. . . . . . 7
β’
β²πif(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0) |
28 | | eleq1w 2238 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π β π΄ β π β π΄)) |
29 | 28, 13 | ifbieq1d 3556 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β if(π β π΄, πΆ, 0) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
30 | | eqid 2177 |
. . . . . . 7
β’ (π β
(β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0)) = (π β (β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0)) |
31 | 24, 27, 29, 30 | fvmptf 5608 |
. . . . . 6
β’ ((π β
(β€β₯βπ) β§ if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0) β β) β ((π β
(β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0))βπ) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
32 | 6, 23, 31 | syl2anc 411 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0))βπ) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
33 | | eqid 2177 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β¦ πΆ) = (π β π΄ β¦ πΆ) |
34 | 33 | fvmpts 5594 |
. . . . . . 7
β’ ((π β π΄ β§ β¦π / πβ¦πΆ β β) β ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) = β¦π / πβ¦πΆ) |
35 | 7, 16, 34 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΄) β ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) = β¦π / πβ¦πΆ) |
36 | 35, 22 | ifeq1dadc 3564 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΄, ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ), 0) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
37 | 32, 36 | eqtr4d 2213 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0))βπ) = if(π β π΄, ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ), 0)) |
38 | 8 | fmpttd 5671 |
. . . . 5
β’ (π β (π β π΄ β¦ πΆ):π΄βΆβ) |
39 | 38 | ffvelcdmda 5651 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΄) β ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) β β) |
40 | 1, 2, 5, 37, 20, 39 | zsumdc 11391 |
. . 3
β’ (π β Ξ£π β π΄ ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) = ( β βseqπ( + , (π β (β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0))))) |
41 | | dfss1 3339 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π΄ β π΅ β (π΅ β© π΄) = π΄) |
42 | 3, 41 | sylib 122 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π΅ β© π΄) = π΄) |
43 | 42 | eleq2d 2247 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β (π΅ β© π΄) β π β π΄)) |
44 | | elin 3318 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π΅ β© π΄) β (π β π΅ β§ π β π΄)) |
45 | 43, 44 | bitr3di 195 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β π΄ β (π β π΅ β§ π β π΄))) |
46 | 45 | adantr 276 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β π΄ β (π β π΅ β§ π β π΄))) |
47 | 46 | ifbid 3555 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0) = if((π β π΅ β§ π β π΄), β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
48 | | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
49 | 16 | adantlr 477 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ π β π΄) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
50 | | eqid 2177 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΅ β¦ πΆ) = (π β π΅ β¦ πΆ) |
51 | 50 | fvmpts 5594 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β π΅ β§ β¦π / πβ¦πΆ β β) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = β¦π / πβ¦πΆ) |
52 | 48, 49, 51 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = β¦π / πβ¦πΆ) |
53 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΄) |
54 | 53 | iftrued 3541 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ π β π΄) β if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0) = β¦π / πβ¦πΆ) |
55 | 52, 54 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
56 | | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β π β π΅) |
57 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β Β¬ π β π΄) |
58 | 56, 57 | eldifd 3139 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β π β (π΅ β π΄)) |
59 | | sumss.3 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (π΅ β π΄)) β πΆ = 0) |
60 | 59 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β βπ β (π΅ β π΄)πΆ = 0) |
61 | 60 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β βπ β (π΅ β π΄)πΆ = 0) |
62 | 11 | nfeq1 2329 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²πβ¦π / πβ¦πΆ = 0 |
63 | 13 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (πΆ = 0 β β¦π / πβ¦πΆ = 0)) |
64 | 62, 63 | rspc 2835 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π΅ β π΄) β (βπ β (π΅ β π΄)πΆ = 0 β β¦π / πβ¦πΆ = 0)) |
65 | 58, 61, 64 | sylc 62 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β β¦π / πβ¦πΆ = 0) |
66 | | 0cnd 7949 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β 0 β β) |
67 | 65, 66 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β β¦π / πβ¦πΆ β β) |
68 | 56, 67, 51 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = β¦π / πβ¦πΆ) |
69 | 57 | iffalsed 3544 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0) = 0) |
70 | 65, 68, 69 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
71 | 22 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β DECID π β π΄) |
72 | | exmiddc 836 |
. . . . . . . . 9
β’
(DECID π β π΄ β (π β π΄ β¨ Β¬ π β π΄)) |
73 | 71, 72 | syl 14 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β (π β π΄ β¨ Β¬ π β π΄)) |
74 | 55, 70, 73 | mpjaodan 798 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β π΅) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
75 | | eleq1w 2238 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (π β π΅ β π β π΅)) |
76 | 75 | dcbid 838 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (DECID π β π΅ β DECID π β π΅)) |
77 | | isumss.bdc |
. . . . . . . . 9
β’ (π β βπ β (β€β₯βπ)DECID π β π΅) |
78 | 77 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β
(β€β₯βπ)DECID π β π΅) |
79 | 76, 78, 6 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β DECID
π β π΅) |
80 | 74, 79 | ifeq1dadc 3564 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΅, ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ), 0) = if(π β π΅, if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0), 0)) |
81 | | ifandc 3572 |
. . . . . . 7
β’
(DECID π β π΅ β if((π β π΅ β§ π β π΄), β¦π / πβ¦πΆ, 0) = if(π β π΅, if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0), 0)) |
82 | 79, 81 | syl 14 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if((π β π΅ β§ π β π΄), β¦π / πβ¦πΆ, 0) = if(π β π΅, if(π β π΄, β¦π / πβ¦πΆ, 0), 0)) |
83 | 80, 82 | eqtr4d 2213 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΅, ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ), 0) = if((π β π΅ β§ π β π΄), β¦π / πβ¦πΆ, 0)) |
84 | 47, 32, 83 | 3eqtr4d 2220 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β (β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0))βπ) = if(π β π΅, ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ), 0)) |
85 | 8 | adantlr 477 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β πΆ β β) |
86 | | simpll 527 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β π) |
87 | | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β π β π΅) |
88 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β Β¬ π β π΄) |
89 | 87, 88 | eldifd 3139 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β π β (π΅ β π΄)) |
90 | 86, 89, 59 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β πΆ = 0) |
91 | | 0cnd 7949 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β 0 β β) |
92 | 90, 91 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π΅) β§ Β¬ π β π΄) β πΆ β β) |
93 | | eleq1w 2238 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π β π΄ β π β π΄)) |
94 | 93 | dcbid 838 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (DECID π β π΄ β DECID π β π΄)) |
95 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π΅) β βπ β (β€β₯βπ)DECID π β π΄) |
96 | 4 | sselda 3155 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π΅) β π β (β€β₯βπ)) |
97 | 94, 95, 96 | rspcdva 2846 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΅) β DECID π β π΄) |
98 | | exmiddc 836 |
. . . . . . . 8
β’
(DECID π β π΄ β (π β π΄ β¨ Β¬ π β π΄)) |
99 | 97, 98 | syl 14 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΅) β (π β π΄ β¨ Β¬ π β π΄)) |
100 | 85, 92, 99 | mpjaodan 798 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΅) β πΆ β β) |
101 | 100 | fmpttd 5671 |
. . . . 5
β’ (π β (π β π΅ β¦ πΆ):π΅βΆβ) |
102 | 101 | ffvelcdmda 5651 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β π΅) β ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) β β) |
103 | 1, 2, 4, 84, 77, 102 | zsumdc 11391 |
. . 3
β’ (π β Ξ£π β π΅ ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = ( β βseqπ( + , (π β (β€β₯βπ) β¦ if(π β π΄, πΆ, 0))))) |
104 | 40, 103 | eqtr4d 2213 |
. 2
β’ (π β Ξ£π β π΄ ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) = Ξ£π β π΅ ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ)) |
105 | | sumfct 11381 |
. . 3
β’
(βπ β
π΄ πΆ β β β Ξ£π β π΄ ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) = Ξ£π β π΄ πΆ) |
106 | 9, 105 | syl 14 |
. 2
β’ (π β Ξ£π β π΄ ((π β π΄ β¦ πΆ)βπ) = Ξ£π β π΄ πΆ) |
107 | 100 | ralrimiva 2550 |
. . 3
β’ (π β βπ β π΅ πΆ β β) |
108 | | sumfct 11381 |
. . 3
β’
(βπ β
π΅ πΆ β β β Ξ£π β π΅ ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = Ξ£π β π΅ πΆ) |
109 | 107, 108 | syl 14 |
. 2
β’ (π β Ξ£π β π΅ ((π β π΅ β¦ πΆ)βπ) = Ξ£π β π΅ πΆ) |
110 | 104, 106,
109 | 3eqtr3d 2218 |
1
β’ (π β Ξ£π β π΄ πΆ = Ξ£π β π΅ πΆ) |