ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss GIF version

Theorem isumss 11383
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
isumss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
isumss.bdc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
Assertion
Ref Expression
isumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 isumss.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 3165 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
6 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
7 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
98ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
109ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
1211nfel1 2330 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
13 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1413eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1512, 14rspc 2835 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
17 0cnd 7941 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2238 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
1918dcbid 838 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑚𝐴))
20 isumss.adc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2219, 21, 6rspcdva 2846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
2316, 17, 22ifcldadc 3563 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
24 nfcv 2319 . . . . . . 7 𝑘𝑚
25 nfv 1528 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐴
26 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑘0
2725, 11, 26nfif 3562 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
28 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
2928, 13ifbieq1d 3556 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
30 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
3124, 27, 29, 30fvmptf 5604 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
326, 23, 31syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
33 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
3433fvmpts 5590 . . . . . . 7 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
357, 16, 34syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
3635, 22ifeq1dadc 3564 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
3732, 36eqtr4d 2213 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
388fmpttd 5667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
3938ffvelcdmda 5647 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
401, 2, 5, 37, 20, 39zsumdc 11376 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
41 dfss1 3339 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
423, 41sylib 122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
4342eleq2d 2247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ 𝑚𝐴))
44 elin 3318 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴))
4543, 44bitr3di 195 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4645adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4746ifbid 3555 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
48 simplr 528 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
4916adantlr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
50 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
5150fvmpts 5590 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5248, 49, 51syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
53 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
5453iftrued 3541 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5552, 54eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
56 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
57 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
5856, 57eldifd 3139 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵𝐴))
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
6059ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6160ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6211nfeq1 2329 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 0
6313eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6462, 63rspc 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6558, 61, 64sylc 62 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0)
66 0cnd 7941 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
6856, 67, 51syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6957iffalsed 3544 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
7065, 68, 693eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
7122adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → DECID 𝑚𝐴)
72 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑚𝐴 → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7455, 70, 73mpjaodan 798 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
75 eleq1w 2238 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐵𝑚𝐵))
7675dcbid 838 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑚𝐵))
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7877adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7976, 78, 6rspcdva 2846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐵)
8074, 79ifeq1dadc 3564 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
81 ifandc 3571 . . . . . . 7 (DECID 𝑚𝐵 → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8279, 81syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8380, 82eqtr4d 2213 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
8447, 32, 833eqtr4d 2220 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
858adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝜑)
87 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
88 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
8987, 88eldifd 3139 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵𝐴))
9086, 89, 59syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 0)
91 0cnd 7941 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
9290, 91eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93 eleq1w 2238 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
9493dcbid 838 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9520adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
964sselda 3155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9794, 95, 96rspcdva 2846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → DECID 𝑘𝐴)
98 exmiddc 836 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
9997, 98syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
10085, 92, 99mpjaodan 798 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101100fmpttd 5667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelcdmda 5647 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 84, 77, 102zsumdc 11376 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
10440, 103eqtr4d 2213 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 sumfct 11366 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
1069, 105syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
107100ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108 sumfct 11366 . . 3 (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
109107, 108syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
110104, 106, 1093eqtr3d 2218 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  csb 3057  cdif 3126  cin 3128  wss 3129  ifcif 3534  cmpt 4061  cfv 5212  cc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805  cz 9242  cuz 9517  seqcseq 10431  cli 11270  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  fisumss  11384  isumss2  11385  binomlem  11475
  Copyright terms: Public domain W3C validator