Theorem isumss 12141

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sumss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
isumss.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
isumss.bdc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumss.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sumss.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		sumss.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	sstrd 3258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
12	11	nfel1 2403	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
13		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
14	13	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
15	12, 14	rspc 2923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17		0cnd 8313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐴))
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
22	19, 21, 6	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
23	16, 17, 22	ifcldadc 3670	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
24		nfcv 2392	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
25		nfv 1581	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
26		nfcv 2392	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	25, 11, 26	nfif 3669	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
28		eleq1w 2299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
29	28, 13	ifbieq1d 3663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
30		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
32	6, 23, 31	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
33		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
34	33	fvmpts 5780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
35	7, 16, 34	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
36	35, 22	ifeq1dadc 3671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
37	32, 36	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
38	8	fmpttd 5857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 5837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 12134	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
41		dfss1 3435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
42	3, 41	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
43	42	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
44		elin 3412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴))
45	43, 44	bitr3di 195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑚 ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴)))
47	46	ifbid 3662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
48		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
49	16	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
50		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
51	50	fvmpts 5780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
52	48, 49, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
54	53	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
55	52, 54	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
56		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eldifd 3230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
60	59	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
61	60	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
62	11	nfeq1 2402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0
63	13	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0))
64	62, 63	rspc 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0))
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 0)
66		0cnd 8313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
67	65, 66	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
68	56, 67, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
69	57	iffalsed 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
71	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → DECID 𝑚 ∈ 𝐴)
72		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑚 ∈ 𝐴 → (𝑚 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
74	55, 70, 73	mpjaodan 810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
75		eleq1w 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
76	75	dcbid 850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝐵))
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐵)
79	76, 78, 6	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑚 ∈ 𝐵)
80	74, 79	ifeq1dadc 3671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
81		ifandc 3681	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑚 ∈ 𝐵 → if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0), 0))
83	80, 82	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
85	8	adantlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86		simpll 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
87		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
89	87, 88	eldifd 3230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
90	86, 89, 59	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 = 0)
91		0cnd 8313	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
92	90, 91	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93		eleq1w 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	dcbid 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
95	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
96	4	sselda 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
97	94, 95, 96	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
98		exmiddc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
100	85, 92, 99	mpjaodan 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101	100	fmpttd 5857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
102	101	ffvelcdmda 5837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 12134	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
104	40, 103	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
105		sumfct 12123	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
106	9, 105	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
107	100	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108		sumfct 12123	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
109	107, 108	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2279	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⦋csb 3147   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ifcif 3638   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  ℂcc 8171  0cc0 8173   + caddc 8176  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  seqcseq 10867   ⇝ cli 12027  Σcsu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by:  fisumss  12142  isumss2  12143  binomlem  12233