ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss GIF version

Theorem isumss 11174
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
isumss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
isumss.bdc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
Assertion
Ref Expression
isumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 isumss.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 3107 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
6 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
7 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
98ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
109ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
1211nfel1 2292 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
13 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1413eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1512, 14rspc 2783 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
17 0cnd 7773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2200 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
1918dcbid 823 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑚𝐴))
20 isumss.adc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2120adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2219, 21, 6rspcdva 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
2316, 17, 22ifcldadc 3501 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
24 nfcv 2281 . . . . . . 7 𝑘𝑚
25 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐴
26 nfcv 2281 . . . . . . . 8 𝑘0
2725, 11, 26nfif 3500 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
28 eleq1w 2200 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
2928, 13ifbieq1d 3494 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
30 eqid 2139 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
3124, 27, 29, 30fvmptf 5513 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
326, 23, 31syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
33 eqid 2139 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
3433fvmpts 5499 . . . . . . 7 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
357, 16, 34syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
3635, 22ifeq1dadc 3502 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
3732, 36eqtr4d 2175 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
388fmpttd 5575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
3938ffvelrnda 5555 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
401, 2, 5, 37, 20, 39zsumdc 11167 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
41 dfss1 3280 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
423, 41sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
4342eleq2d 2209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ 𝑚𝐴))
44 elin 3259 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴))
4543, 44bitr3di 194 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4645adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4746ifbid 3493 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
48 simplr 519 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
4916adantlr 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
50 eqid 2139 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
5150fvmpts 5499 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5248, 49, 51syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
53 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
5453iftrued 3481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5552, 54eqtr4d 2175 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
56 simplr 519 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
57 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
5856, 57eldifd 3081 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵𝐴))
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
6059ralrimiva 2505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6160ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6211nfeq1 2291 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 0
6313eqeq1d 2148 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6462, 63rspc 2783 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6558, 61, 64sylc 62 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0)
66 0cnd 7773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrd 2216 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
6856, 67, 51syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6957iffalsed 3484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
7065, 68, 693eqtr4d 2182 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
7122adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → DECID 𝑚𝐴)
72 exmiddc 821 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑚𝐴 → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7455, 70, 73mpjaodan 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
75 eleq1w 2200 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐵𝑚𝐵))
7675dcbid 823 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑚𝐵))
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7877adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7976, 78, 6rspcdva 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐵)
8074, 79ifeq1dadc 3502 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
81 ifandc 3508 . . . . . . 7 (DECID 𝑚𝐵 → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8279, 81syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8380, 82eqtr4d 2175 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
8447, 32, 833eqtr4d 2182 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
858adantlr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86 simpll 518 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝜑)
87 simplr 519 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
88 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
8987, 88eldifd 3081 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵𝐴))
9086, 89, 59syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 0)
91 0cnd 7773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
9290, 91eqeltrd 2216 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93 eleq1w 2200 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
9493dcbid 823 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9520adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
964sselda 3097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9794, 95, 96rspcdva 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → DECID 𝑘𝐴)
98 exmiddc 821 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
9997, 98syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
10085, 92, 99mpjaodan 787 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101100fmpttd 5575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelrnda 5555 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 84, 77, 102zsumdc 11167 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
10440, 103eqtr4d 2175 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 sumfct 11157 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
1069, 105syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
107100ralrimiva 2505 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108 sumfct 11157 . . 3 (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
109107, 108syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
110104, 106, 1093eqtr3d 2180 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  csb 3003  cdif 3068  cin 3070  wss 3071  ifcif 3474  cmpt 3989  cfv 5123  cc 7632  0cc0 7634   + caddc 7637  cz 9068  cuz 9340  seqcseq 10232  cli 11061  Σcsu 11136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-ihash 10536  df-cj 10628  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-clim 11062  df-sumdc 11137
This theorem is referenced by:  fisumss  11175  isumss2  11176  binomlem  11266
  Copyright terms: Public domain W3C validator