ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss GIF version

Theorem isumss 10747
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
isumss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
isumss.bdc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
Assertion
Ref Expression
isumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 isumss.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 3033 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
6 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
7 simpr 108 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
98ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
109ad2antrr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
1211nfel1 2239 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
13 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1413eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1512, 14rspc 2716 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
167, 10, 15sylc 61 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
17 0cnd 7460 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2148 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
1918dcbid 786 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑚𝐴))
20 isumss.adc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2120adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2219, 21, 6rspcdva 2727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
2316, 17, 22ifcldadc 3416 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
24 nfcv 2228 . . . . . . 7 𝑘𝑚
25 nfv 1466 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐴
26 nfcv 2228 . . . . . . . 8 𝑘0
2725, 11, 26nfif 3415 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
28 eleq1w 2148 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
2928, 13ifbieq1d 3409 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
30 eqid 2088 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
3124, 27, 29, 30fvmptf 5379 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
326, 23, 31syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
33 eqid 2088 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
3433fvmpts 5366 . . . . . . 7 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
357, 16, 34syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
3635, 22ifeq1dadc 3417 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
3732, 36eqtr4d 2123 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
388fmpttd 5437 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
3938ffvelrnda 5418 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
401, 2, 5, 37, 20, 39zisum 10738 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)), ℂ)))
41 elin 3181 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴))
42 dfss1 3202 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
433, 42sylib 120 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
4443eleq2d 2157 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ 𝑚𝐴))
4541, 44syl5rbbr 193 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4645adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4746ifbid 3408 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
48 simplr 497 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
4916adantlr 461 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
50 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
5150fvmpts 5366 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5248, 49, 51syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
53 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
5453iftrued 3396 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5552, 54eqtr4d 2123 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
56 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
57 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
5856, 57eldifd 3007 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵𝐴))
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
6059ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6160ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6211nfeq1 2238 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 0
6313eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6462, 63rspc 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6558, 61, 64sylc 61 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0)
66 0cnd 7460 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrd 2164 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
6856, 67, 51syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6957iffalsed 3399 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
7065, 68, 693eqtr4d 2130 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
7122adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → DECID 𝑚𝐴)
72 exmiddc 782 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑚𝐴 → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7455, 70, 73mpjaodan 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
75 eleq1w 2148 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐵𝑚𝐵))
7675dcbid 786 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑚𝐵))
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7877adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7976, 78, 6rspcdva 2727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐵)
8074, 79ifeq1dadc 3417 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
81 ifandc 3423 . . . . . . 7 (DECID 𝑚𝐵 → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8279, 81syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8380, 82eqtr4d 2123 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
8447, 32, 833eqtr4d 2130 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
858adantlr 461 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86 simpll 496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝜑)
87 simplr 497 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
88 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
8987, 88eldifd 3007 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵𝐴))
9086, 89, 59syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 0)
91 0cnd 7460 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
9290, 91eqeltrd 2164 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93 eleq1w 2148 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
9493dcbid 786 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9520adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
964sselda 3023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9794, 95, 96rspcdva 2727 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → DECID 𝑘𝐴)
98 exmiddc 782 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
9997, 98syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
10085, 92, 99mpjaodan 747 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101100fmpttd 5437 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelrnda 5418 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 84, 77, 102zisum 10738 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)), ℂ)))
10440, 103eqtr4d 2123 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 sumfct 10727 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
1069, 105syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
107100ralrimiva 2446 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108 sumfct 10727 . . 3 (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
109107, 108syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
110104, 106, 1093eqtr3d 2128 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  csb 2931  cdif 2994  cin 2996  wss 2997  ifcif 3389  cmpt 3891  cfv 5002  cc 7327  0cc0 7329   + caddc 7332  cz 8720  cuz 8988  seqcseq4 9816  cli 10630  Σcsu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  fisumss  10748  isumss2  10749  binomlem  10839
  Copyright terms: Public domain W3C validator