ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss GIF version

Theorem isumss 11115
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
isumss.adc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
isumss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
isumss.bdc (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
Assertion
Ref Expression
isumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑗   𝐵,𝑘,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑀,𝑘   𝜑,𝑘,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2117 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 isumss.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 3077 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
6 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
7 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
98ralrimiva 2482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
109ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
11 nfcsb1v 3005 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
1211nfel1 2269 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
13 csbeq1a 2983 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1413eleq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1512, 14rspc 2757 . . . . . . . 8 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
17 0cnd 7727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2178 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
1918dcbid 808 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑚𝐴))
20 isumss.adc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2120adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
2219, 21, 6rspcdva 2768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐴)
2316, 17, 22ifcldadc 3471 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
24 nfcv 2258 . . . . . . 7 𝑘𝑚
25 nfv 1493 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚𝐴
26 nfcv 2258 . . . . . . . 8 𝑘0
2725, 11, 26nfif 3470 . . . . . . 7 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
28 eleq1w 2178 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
2928, 13ifbieq1d 3464 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
30 eqid 2117 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
3124, 27, 29, 30fvmptf 5481 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
326, 23, 31syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
33 eqid 2117 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
3433fvmpts 5467 . . . . . . 7 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
357, 16, 34syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
3635, 22ifeq1dadc 3472 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
3732, 36eqtr4d 2153 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
388fmpttd 5543 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
3938ffvelrnda 5523 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
401, 2, 5, 37, 20, 39zsumdc 11108 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
41 elin 3229 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴))
42 dfss1 3250 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
433, 42sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
4443eleq2d 2187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ 𝑚𝐴))
4541, 44syl5rbbr 194 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4645adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚𝐴 ↔ (𝑚𝐵𝑚𝐴)))
4746ifbid 3463 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
48 simplr 504 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
4916adantlr 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
50 eqid 2117 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
5150fvmpts 5467 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5248, 49, 51syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
53 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
5453iftrued 3451 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5552, 54eqtr4d 2153 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
56 simplr 504 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
57 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
5856, 57eldifd 3051 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ (𝐵𝐴))
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
6059ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6160ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
6211nfeq1 2268 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 0
6313eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6462, 63rspc 2757 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0))
6558, 61, 64sylc 62 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 0)
66 0cnd 7727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 0 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrd 2194 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
6856, 67, 51syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
6957iffalsed 3454 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
7065, 68, 693eqtr4d 2160 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) ∧ ¬ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
7122adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → DECID 𝑚𝐴)
72 exmiddc 806 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑚𝐴 → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 ∨ ¬ 𝑚𝐴))
7455, 70, 73mpjaodan 772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
75 eleq1w 2178 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐵𝑚𝐵))
7675dcbid 808 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → (DECID 𝑗𝐵DECID 𝑚𝐵))
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7877adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐵)
7976, 78, 6rspcdva 2768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑚𝐵)
8074, 79ifeq1dadc 3472 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
81 ifandc 3478 . . . . . . 7 (DECID 𝑚𝐵 → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8279, 81syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = if(𝑚𝐵, if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0), 0))
8380, 82eqtr4d 2153 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0) = if((𝑚𝐵𝑚𝐴), 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
8447, 32, 833eqtr4d 2160 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
858adantlr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86 simpll 503 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝜑)
87 simplr 504 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
88 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
8987, 88eldifd 3051 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝐵𝐴))
9086, 89, 59syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 = 0)
91 0cnd 7727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
9290, 91eqeltrd 2194 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
93 eleq1w 2178 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
9493dcbid 808 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9520adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
964sselda 3067 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9794, 95, 96rspcdva 2768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → DECID 𝑘𝐴)
98 exmiddc 806 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
9997, 98syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
10085, 92, 99mpjaodan 772 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
101100fmpttd 5543 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelrnda 5523 . . . 4 ((𝜑𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 84, 77, 102zsumdc 11108 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
10440, 103eqtr4d 2153 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 sumfct 11098 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
1069, 105syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶)
107100ralrimiva 2482 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
108 sumfct 11098 . . 3 (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
109107, 108syl 14 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶)
110104, 106, 1093eqtr3d 2158 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  csb 2975  cdif 3038  cin 3040  wss 3041  ifcif 3444  cmpt 3959  cfv 5093  cc 7586  0cc0 7588   + caddc 7591  cz 9012  cuz 9282  seqcseq 10173  cli 11002  Σcsu 11077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-ihash 10477  df-cj 10569  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-clim 11003  df-sumdc 11078
This theorem is referenced by:  fisumss  11116  isumss2  11117  binomlem  11207
  Copyright terms: Public domain W3C validator