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Theorem lgsmod 14094
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod 𝑛 when 𝑛 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
213adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℙ)
7 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 2 → (𝑛𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
98notbid 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 2 → (¬ 𝑛𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
107, 9syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛𝑁))
1110necon2ad 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛𝑁𝑛 ≠ 2))
1211imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ≠ 2)
13 eldifsn 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
146, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
15 oddprm 12242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
194, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
20 zq 9615 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
22 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
23 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2422, 17, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
25 zq 9615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
27 1z 9268 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
28 zq 9615 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 1 ∈ ℚ)
30 prmz 12094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 9615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℚ)
34 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635nngt0d 8952 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 0 < 𝑛)
37 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3938nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
404, 22zsubcld 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴) ∈ ℤ)
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
42 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4322, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℚ)
44 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
4638nngt0d 8952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 0 < 𝑁)
47 modqabs2 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
49 moddvds 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5038, 4, 22, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5148, 50mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
5231, 39, 40, 41, 51dvdstrd 11821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
53 moddvds 11790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5435, 4, 22, 53syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5552, 54mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛))
564, 22, 17, 33, 36, 55modqexp 10632 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
5721, 26, 29, 33, 36, 56modqadd1 10347 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
5857oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
59 lgsval3 14086 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
604, 14, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
61 lgsval3 14086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
6222, 14, 61syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
6358, 60, 623eqtr4d 2220 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑛))
6463oveq1d 5884 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
653ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6630ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 lgscl 14082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6968zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℂ)
7069exp0d 10633 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = 1)
71 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
72 lgscl 14082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
7371, 66, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
7473zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℂ)
7574exp0d 10633 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑0) = 1)
7670, 75eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
7737adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
78 pceq0 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
795, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
8079biimpar 297 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑁) = 0)
8180oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0))
8280oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
8376, 81, 823eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
8434adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
8577nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 dvdsdc 11789 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
8784, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → DECID 𝑛𝑁)
88 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
8987, 88syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
9064, 83, 89mpjaodan 798 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
9190adantlr 477 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
92 prmdc 12113 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
9392adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
9491, 93ifeq1dadc 3564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
9594mpteq2dva 4090 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
9695seqeq3d 10439 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
9796fveq1d 5513 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
98 eqid 2177 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
9998lgsval4a 14090 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
1003, 37, 99syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
101 eqid 2177 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
102101lgsval4a 14090 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
1031023adant3 1017 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
10497, 100, 1033eqtr4d 2220 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  cdif 3126  ifcif 3534  {csn 3591   class class class wbr 4000  cmpt 4061  cfv 5212  (class class class)co 5869  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cq 9608   mod cmo 10308  seqcseq 10431  cexp 10505  cdvds 11778  cprime 12090   pCnt cpc 12267   /L clgs 14065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-phi 12194  df-pc 12268  df-lgs 14066
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  14113
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