Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | zmodcl 10343 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ (๐ด mod ๐) โ
โ0) |
2 | 1 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ (๐ด mod ๐) โ
โ0) |
3 | 2 | nn0zd 9372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ (๐ด mod ๐) โ โค) |
4 | 3 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ด mod ๐) โ โค) |
5 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ) |
6 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โ) |
7 | | simpl3 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ ยฌ 2
โฅ ๐) |
8 | | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ = 2 โ (๐ โฅ ๐ โ 2 โฅ ๐)) |
9 | 8 | notbid 667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ = 2 โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐)) |
10 | 7, 9 | syl5ibrcom 157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ (๐ = 2 โ ยฌ ๐ โฅ ๐)) |
11 | 10 | necon2ad 2404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โ 2)) |
12 | 11 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ 2) |
13 | | eldifsn 3719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ (๐ โ โ
โง ๐ โ
2)) |
14 | 6, 12, 13 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ (โ โ
{2})) |
15 | | oddprm 12258 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ ((๐ โ 1) / 2)
โ โ) |
16 | 14, 15 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ โ 1) / 2) โ
โ) |
17 | 16 | nnnn0d 9228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ โ 1) / 2) โ
โ0) |
18 | | zexpcl 10534 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ด mod ๐) โ โค โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ0)
โ ((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) โ
โค) |
19 | 4, 17, 18 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) โ
โค) |
20 | | zq 9625 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) โ โค โ
((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) โ
โ) |
21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) โ
โ) |
22 | | simpll1 1036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ด โ โค) |
23 | | zexpcl 10534 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ด โ โค โง ((๐ โ 1) / 2) โ
โ0) โ (๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) โ
โค) |
24 | 22, 17, 23 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) โ
โค) |
25 | | zq 9625 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) โ โค โ
(๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) โ
โ) |
26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) โ
โ) |
27 | | 1z 9278 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 1 โ
โค |
28 | | zq 9625 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (1 โ
โค โ 1 โ โ) |
29 | 27, 28 | mp1i 10 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ 1 โ โ) |
30 | | prmz 12110 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โค) |
31 | 30 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โค) |
32 | | zq 9625 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
โ) |
33 | 31, 32 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โ) |
34 | | prmnn 12109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
35 | 34 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โ) |
36 | 35 | nngt0d 8962 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ 0 < ๐) |
37 | | simp2 998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ ๐ โ
โ) |
38 | 37 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โ) |
39 | 38 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โค) |
40 | 4, 22 | zsubcld 9379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด) โ โค) |
41 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
42 | | zq 9625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ
โ) |
43 | 22, 42 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ด โ โ) |
44 | | zq 9625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
โ) |
45 | 39, 44 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โ) |
46 | 38 | nngt0d 8962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ 0 < ๐) |
47 | | modqabs2 10357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง 0 <
๐) โ ((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐)) |
48 | 43, 45, 46, 47 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐)) |
49 | | moddvds 11805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ โ โง (๐ด mod ๐) โ โค โง ๐ด โ โค) โ (((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐) โ ๐ โฅ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด))) |
50 | 38, 4, 22, 49 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐) โ ๐ โฅ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด))) |
51 | 48, 50 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โฅ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด)) |
52 | 31, 39, 40, 41, 51 | dvdstrd 11836 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โฅ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด)) |
53 | | moddvds 11805 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ โง (๐ด mod ๐) โ โค โง ๐ด โ โค) โ (((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐) โ ๐ โฅ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด))) |
54 | 35, 4, 22, 53 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐) โ ๐ โฅ ((๐ด mod ๐) โ ๐ด))) |
55 | 52, 54 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) mod ๐) = (๐ด mod ๐)) |
56 | 4, 22, 17, 33, 36, 55 | modqexp 10646 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) mod ๐) = ((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) mod ๐)) |
57 | 21, 26, 29, 33, 36, 56 | modqadd1 10360 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) = (((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐)) |
58 | 57 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (((((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1) = ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1)) |
59 | | lgsval3 14389 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด mod ๐) โ โค โง ๐ โ (โ โ {2})) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) = (((((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1)) |
60 | 4, 14, 59 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) = (((((๐ด mod ๐)โ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1)) |
61 | | lgsval3 14389 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ (โ โ {2}))
โ (๐ด
/L ๐) =
((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1)) |
62 | 22, 14, 61 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ด /L ๐) = ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1)) |
63 | 58, 60, 62 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) = (๐ด /L ๐)) |
64 | 63 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)) = ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐))) |
65 | 3 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (๐ด mod ๐) โ โค) |
66 | 30 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โค) |
67 | | lgscl 14385 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด mod ๐) โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) โ โค) |
68 | 65, 66, 67 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) โ โค) |
69 | 68 | zcnd 9375 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) โ โ) |
70 | 69 | exp0d 10647 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ0) = 1) |
71 | | simpll1 1036 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ ๐ด โ โค) |
72 | | lgscl 14385 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L ๐) โ
โค) |
73 | 71, 66, 72 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (๐ด /L ๐) โ โค) |
74 | 73 | zcnd 9375 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (๐ด /L ๐) โ โ) |
75 | 74 | exp0d 10647 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ ((๐ด /L ๐)โ0) = 1) |
76 | 70, 75 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ0) = ((๐ด /L ๐)โ0)) |
77 | 37 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ) |
78 | | pceq0 12320 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐) = 0 โ ยฌ ๐ โฅ ๐)) |
79 | 5, 77, 78 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐) = 0 โ ยฌ ๐ โฅ ๐)) |
80 | 79 | biimpar 297 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (๐ pCnt ๐) = 0) |
81 | 80 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)) = (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ0)) |
82 | 80 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)) = ((๐ด /L ๐)โ0)) |
83 | 76, 81, 82 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ยฌ
๐ โฅ ๐) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)) = ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐))) |
84 | 34 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ) |
85 | 77 | nnzd 9373 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โค) |
86 | | dvdsdc 11804 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ
DECID ๐
โฅ ๐) |
87 | 84, 85, 86 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ
DECID ๐
โฅ ๐) |
88 | | exmiddc 836 |
. . . . . . . . 9
โข
(DECID ๐ โฅ ๐ โ (๐ โฅ ๐ โจ ยฌ ๐ โฅ ๐)) |
89 | 87, 88 | syl 14 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โจ ยฌ ๐ โฅ ๐)) |
90 | 64, 83, 89 | mpjaodan 798 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)) = ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐))) |
91 | 90 | adantlr 477 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)) = ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐))) |
92 | | prmdc 12129 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ โ
DECID ๐
โ โ) |
93 | 92 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ
DECID ๐
โ โ) |
94 | 91, 93 | ifeq1dadc 3564 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โง ๐ โ โ) โ if(๐ โ โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1) = if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)) |
95 | 94 | mpteq2dva 4093 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)) = (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1))) |
96 | 95 | seqeq3d 10452 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ seq1(
ยท , (๐ โ
โ โฆ if(๐ โ
โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1))) = seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))) |
97 | 96 | fveq1d 5517 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ (seq1(
ยท , (๐ โ
โ โฆ if(๐ โ
โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))โ๐) = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))โ๐)) |
98 | | eqid 2177 |
. . . 4
โข (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)) = (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)) |
99 | 98 | lgsval4a 14393 |
. . 3
โข (((๐ด mod ๐) โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))โ๐)) |
100 | 3, 37, 99 | syl2anc 411 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (((๐ด mod ๐) /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))โ๐)) |
101 | | eqid 2177 |
. . . 4
โข (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)) = (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)) |
102 | 101 | lgsval4a 14393 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ (๐ด /L ๐) = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))โ๐)) |
103 | 102 | 3adant3 1017 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ (๐ด /L ๐) = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, ((๐ด /L ๐)โ(๐ pCnt ๐)), 1)))โ๐)) |
104 | 97, 100, 103 | 3eqtr4d 2220 |
1
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ โง ยฌ 2
โฅ ๐) โ ((๐ด mod ๐) /L ๐) = (๐ด /L ๐)) |