lgsmod - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem lgsmod 15351

Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod 𝑛 when 𝑛 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgsmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑁) = (𝐴 /_L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmod Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
2	1	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
3	2	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℙ)
7		simpl3 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
9	8	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 2 → (¬ 𝑛 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10	7, 9	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
11	10	necon2ad 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 ∥ 𝑁 → 𝑛 ≠ 2))
12	11	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ≠ 2)
13		eldifsn 3750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
14	6, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
15		oddprm 12453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
18		zexpcl 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
19	4, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
20		zq 9717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
22		simpll1 1038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		zexpcl 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
24	22, 17, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
25		zq 9717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
27		1z 9369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		zq 9717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
29	27, 28	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℚ)
30		prmz 12304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℤ)
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
32		zq 9717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℚ)
34		prmnn 12303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	35	nngt0d 9051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 0 < 𝑛)
37		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
39	38	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	4, 22	zsubcld 9470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴) ∈ ℤ)
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∥ 𝑁)
42		zq 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
43	22, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℚ)
44		zq 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
45	39, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
46	38	nngt0d 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 0 < 𝑁)
47		modqabs2 10467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
49		moddvds 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
50	38, 4, 22, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
51	48, 50	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
52	31, 39, 40, 41, 51	dvdstrd 12012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
53		moddvds 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
54	35, 4, 22, 53	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
55	52, 54	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛))
56	4, 22, 17, 33, 36, 55	modqexp 10775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
57	21, 26, 29, 33, 36, 56	modqadd1 10470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
58	57	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
59		lgsval3 15343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
60	4, 14, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
61		lgsval3 15343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /_L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
62	22, 14, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴 /_L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
63	58, 60, 62	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛) = (𝐴 /_L 𝑛))
64	63	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
65	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66	30	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		lgscl 15339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛) ∈ ℤ)
68	65, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛) ∈ ℂ)
70	69	exp0d 10776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑0) = 1)
71		simpll1 1038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
72		lgscl 15339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑛) ∈ ℤ)
73	71, 66, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴 /_L 𝑛) ∈ ℤ)
74	73	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝐴 /_L 𝑛) ∈ ℂ)
75	74	exp0d 10776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /_L 𝑛)↑0) = 1)
76	70, 75	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑0) = ((𝐴 /_L 𝑛)↑0))
77	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
78		pceq0 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
79	5, 77, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
80	79	biimpar 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑁) = 0)
81	80	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑0))
82	80	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑛)↑0))
83	76, 81, 82	3eqtr4d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
84	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
85	77	nnzd 9464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
86		dvdsdc 11980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑁)
87	84, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑁)
88		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑛 ∥ 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
90	64, 83, 89	mpjaodan 799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
91	90	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
92		prmdc 12323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
93	92	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
94	91, 93	ifeq1dadc 3592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
95	94	mpteq2dva 4124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
96	95	seqeq3d 10564	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
97	96	fveq1d 5563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
98		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
99	98	lgsval4a 15347	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
100	3, 37, 99	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
101		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
102	101	lgsval4a 15347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /_L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
103	102	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 /_L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
104	97, 100, 103	3eqtr4d 2239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /_L 𝑁) = (𝐴 /_L 𝑁))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 DECID wdc 835 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ≠ wne 2367 ∖ cdif 3154 ifcif 3562 {csn 3623 class class class wbr 4034 ↦ cmpt 4095 ‘cfv 5259 (class class class)co 5925 0cc0 7896 1c1 7897 + caddc 7899 · cmul 7901 < clt 8078 − cmin 8214 / cdiv 8716 ℕcn 9007 2c2 9058 ℕ₀cn0 9266 ℤcz 9343 ℚcq 9710 mod cmo 10431 seqcseq 10556 ↑cexp 10647 ∥ cdvds 11969 ℙcprime 12300 pCnt cpc 12478 /_L clgs 15322

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-5 9069 df-6 9070 df-7 9071 df-8 9072 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-ihash 10885 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-clim 11461 df-proddc 11733 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-prm 12301 df-phi 12404 df-pc 12479 df-lgs 15323

This theorem is referenced by: lgsmodeq 15370

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