ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsmod GIF version

Theorem lgsmod 13998
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod 𝑛 when 𝑛 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
213adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 9346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℙ)
7 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8 breq1 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 2 → (𝑛𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
98notbid 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 2 → (¬ 𝑛𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
107, 9syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛𝑁))
1110necon2ad 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛𝑁𝑛 ≠ 2))
1211imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ≠ 2)
13 eldifsn 3716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
146, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
15 oddprm 12226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 9202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 zexpcl 10505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
194, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
20 zq 9599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
22 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
23 zexpcl 10505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2422, 17, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
25 zq 9599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
27 1z 9252 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
28 zq 9599 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 1 ∈ ℚ)
30 prmz 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 9599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℚ)
34 prmnn 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635nngt0d 8936 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 0 < 𝑛)
37 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3938nnzd 9347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
404, 22zsubcld 9353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴) ∈ ℤ)
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
42 zq 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4322, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℚ)
44 zq 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
4638nngt0d 8936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 0 < 𝑁)
47 modqabs2 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
49 moddvds 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5038, 4, 22, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5148, 50mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
5231, 39, 40, 41, 51dvdstrd 11805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
53 moddvds 11774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5435, 4, 22, 53syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
5552, 54mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛))
564, 22, 17, 33, 36, 55modqexp 10616 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
5721, 26, 29, 33, 36, 56modqadd1 10331 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
5857oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
59 lgsval3 13990 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
604, 14, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
61 lgsval3 13990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
6222, 14, 61syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
6358, 60, 623eqtr4d 2218 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑛))
6463oveq1d 5880 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
653ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6630ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 lgscl 13986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6968zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℂ)
7069exp0d 10617 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = 1)
71 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
72 lgscl 13986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
7371, 66, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
7473zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℂ)
7574exp0d 10617 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑0) = 1)
7670, 75eqtr4d 2211 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
7737adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
78 pceq0 12288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
795, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
8079biimpar 297 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑁) = 0)
8180oveq2d 5881 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0))
8280oveq2d 5881 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
8376, 81, 823eqtr4d 2218 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
8434adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
8577nnzd 9347 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 dvdsdc 11773 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
8784, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → DECID 𝑛𝑁)
88 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
8987, 88syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
9064, 83, 89mpjaodan 798 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
9190adantlr 477 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
92 prmdc 12097 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
9392adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
9491, 93ifeq1dadc 3562 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
9594mpteq2dva 4088 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
9695seqeq3d 10423 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
9796fveq1d 5509 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
98 eqid 2175 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
9998lgsval4a 13994 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
1003, 37, 99syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
101 eqid 2175 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
102101lgsval4a 13994 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
1031023adant3 1017 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
10497, 100, 1033eqtr4d 2218 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345  cdif 3124  ifcif 3532  {csn 3589   class class class wbr 3998  cmpt 4059  cfv 5208  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966  cmin 8102   / cdiv 8602  cn 8892  2c2 8943  0cn0 9149  cz 9226  cq 9592   mod cmo 10292  seqcseq 10415  cexp 10489  cdvds 11762  cprime 12074   pCnt cpc 12251   /L clgs 13969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-proddc 11527  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-phi 12178  df-pc 12252  df-lgs 13970
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  14017
  Copyright terms: Public domain W3C validator