ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsmod GIF version

Theorem lgsmod 14588
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod ๐‘› when ๐‘› is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
213adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
32nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
43ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
7 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
8 breq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = 2 โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
98notbid 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = 2 โ†’ (ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
107, 9syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› = 2 โ†’ ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
1110necon2ad 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘› โ‰  2))
1211imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰  2)
13 eldifsn 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โ‰  2))
146, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
15 oddprm 12262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
1716nnnn0d 9232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
18 zexpcl 10538 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
194, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
20 zq 9629 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„š)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„š)
22 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
23 zexpcl 10538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
2422, 17, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
25 zq 9629 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„š)
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„š)
27 1z 9282 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„ค
28 zq 9629 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
30 prmz 12114 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32 zq 9629 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„š)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„š)
34 prmnn 12113 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635nngt0d 8966 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘›)
37 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3938nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
404, 22zsubcld 9383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆฅ ๐‘)
42 zq 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
4322, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
44 zq 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
4638nngt0d 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘)
47 modqabs2 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘))
49 moddvds 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
5038, 4, 22, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
5148, 50mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด))
5231, 39, 40, 41, 51dvdstrd 11840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด))
53 moddvds 11809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›) โ†” ๐‘› โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
5435, 4, 22, 53syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›) โ†” ๐‘› โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
5552, 54mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›))
564, 22, 17, 33, 36, 55modqexp 10650 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›) = ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›))
5721, 26, 29, 33, 36, 56modqadd1 10364 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) = (((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›))
5857oveq1d 5893 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
59 lgsval3 14580 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) = (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
604, 14, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) = (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
61 lgsval3 14580 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
6222, 14, 61syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
6358, 60, 623eqtr4d 2220 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) = (๐ด /L ๐‘›))
6463oveq1d 5893 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
653ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
6630ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
67 lgscl 14576 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
6968zcnd 9379 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7069exp0d 10651 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘0) = 1)
71 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
72 lgscl 14576 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
7371, 66, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
7473zcnd 9379 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7574exp0d 10651 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘0) = 1)
7670, 75eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘0) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘0))
7737adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
78 pceq0 12324 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› pCnt ๐‘) = 0 โ†” ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
795, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘› pCnt ๐‘) = 0 โ†” ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
8079biimpar 297 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘) = 0)
8180oveq2d 5894 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘0))
8280oveq2d 5894 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘0))
8376, 81, 823eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
8434adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8577nnzd 9377 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
86 dvdsdc 11808 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘› โˆฅ ๐‘)
8784, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ DECID ๐‘› โˆฅ ๐‘)
88 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID ๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
8987, 88syl 14 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐‘ โˆจ ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
9064, 83, 89mpjaodan 798 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
9190adantlr 477 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
92 prmdc 12133 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ DECID ๐‘› โˆˆ โ„™)
9392adantl 277 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ DECID ๐‘› โˆˆ โ„™)
9491, 93ifeq1dadc 3566 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1) = if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
9594mpteq2dva 4095 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))
9695seqeq3d 10456 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))))
9796fveq1d 5519 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
98 eqid 2177 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
9998lgsval4a 14584 . . 3 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
1003, 37, 99syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
101 eqid 2177 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
102101lgsval4a 14584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
1031023adant3 1017 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
10497, 100, 1033eqtr4d 2220 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   โˆ– cdif 3128  ifcif 3536  {csn 3594   class class class wbr 4005   โ†ฆ cmpt 4066  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819   < clt 7995   โˆ’ cmin 8131   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  2c2 8973  โ„•0cn0 9179  โ„คcz 9256  โ„šcq 9622   mod cmo 10325  seqcseq 10448  โ†‘cexp 10522   โˆฅ cdvds 11797  โ„™cprime 12110   pCnt cpc 12287   /L clgs 14559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-proddc 11562  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-prm 12111  df-phi 12214  df-pc 12288  df-lgs 14560
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  14607
  Copyright terms: Public domain W3C validator