lgsval2lem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem lgsval2lem 15126

Description: Lemma for lgsval2 15132. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsval2lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		lgsval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3	2	lgsval 15120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
4	1, 3	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
5		prmnn 12248	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnne0d 9027	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
8	7	neneqd 2385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 3567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
10	6	nnnn0d 9293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0ge0d 9296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
12		0re 8019	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	6	nnred 8995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lenlt 8095	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 < 0)
17	16	intnanrd 933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
18	17	iffalsed 3567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19	13, 11	absidd 11311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
20	19	fveq2d 5558	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
21		1zzd 9344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
22		prmuz2 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
24		df-2 9041	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 5557	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
27		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑁 ≠ 0)
30	2	lgsfcl 15124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
32		elnnuz 9629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
33	32	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
35	31, 34	ffvelcdmd 5694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
36		zmulcl 9370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
38	21, 26, 35, 37	seq3m1 10544	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
39		1t1e1 9134	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
40	39	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · 1) = 1)
41		uz2m1nn 9670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
42	23, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
43		nnuz 9628	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
44	42, 43	eleqtrdi 2286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
45		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
47		elfznn 10120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
49	2	lgsfvalg 15121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
51		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52	51	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	ltm1d 8951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
54		peano2rem 8286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
56		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
57	52, 55, 56	lensymd 8141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
58	53, 57	pm2.65i 640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))
59		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
60	58, 59	mtbiri 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
61	60	con2i 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
63		prmuz2 12269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
64		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
65		dvdsprm 12275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
66	63, 64, 65	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
67	62, 66	mtbird 674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
69	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
70		pceq0 12460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
71	68, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
72	67, 71	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 pCnt 𝑁) = 0)
73	72	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0))
74		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
75		1zzd 9344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
76		neg1z 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℤ
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
78		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
79		8nn 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 8 ∈ ℕ
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
81	78, 80	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ₀)
82	81	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
83		zdceq 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
85		7nn 9148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 7 ∈ ℕ
86	85	nnzi 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 7 ∈ ℤ
87		zdceq 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
88	82, 86, 87	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
89		dcor 937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
90	84, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
91		elprg 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ₀ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
92	81, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
93	92	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
94	90, 93	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
95	75, 77, 94	ifcldcd 3593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ)
96		2nn 9143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
97		dvdsdc 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝐴)
98	96, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID 2 ∥ 𝐴)
99	74, 95, 98	ifcldcd 3593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
100	99	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
101		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
102	101	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℙ)
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ¬ 𝑥 = 2)
105	104	neqned 2371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ≠ 2)
106		eldifsn 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
107	103, 105, 106	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}))
108		oddprm 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
110	109	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
111		zexpcl 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
112	102, 110, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
113	112	peano2zd 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
114		prmnn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
116	113, 115	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℕ₀)
117	116	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ)
118		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
120		prmz 12249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
121		2z 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
122	121	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
123		zdceq 9392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 2)
124	120, 122, 123	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → DECID 𝑥 = 2)
125	100, 119, 124	ifcldadc 3586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
126	125	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
127	126	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
128	127	exp0d 10738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0) = 1)
129	73, 128	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = 1)
130		prmdc 12268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → DECID 𝑥 ∈ ℙ)
131	48, 130	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → DECID 𝑥 ∈ ℙ)
132	129, 131	ifeq1dadc 3587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1))
133		ifiddc 3591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℙ → if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1)
134	131, 133	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1)
135	50, 132, 134	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 1)
136		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
137	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
138	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑁 ≠ 0)
139	136, 137, 138, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
140		elnnuz 9629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1))
141	140	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
142	141	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
143	139, 142	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
144		zmulcl 9370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
145	144	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
146	40, 44, 135, 21, 143, 145	seq3id3 10595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 1)
147	146	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
148	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
149	101, 148, 7, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
150	149, 6	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
151	150	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
152	151	mulid2d 8038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
153	38, 147, 152	3eqtrd 2230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
154	20, 153	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
155	18, 154	oveq12d 5936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
156	2	lgsfvalg 15121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
157	101, 6, 6, 156	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
158		iftrue 3562	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
159	158	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
160	6	nncnd 8996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
161	160	exp1d 10739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁↑1) = 𝑁)
162	161	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
163		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
164		1z 9343	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
165		pcid 12462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
166	163, 164, 165	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
167	162, 166	eqtr3d 2228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
168	167	oveq2d 5934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1))
169		eqeq1 2200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 2 ↔ 𝑁 = 2))
170		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
171	170	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
172	171	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)))
173	172	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
174		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
175	173, 174	oveq12d 5936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
176	175	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) = ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))
177	169, 176	ifbieq2d 3581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
178	177	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ))
179	126	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ ℙ if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
180	178, 179, 163	rspcdva 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
181	180	exp1d 10739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
182	168, 181	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
183	157, 159, 182	3eqtrd 2230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
184	155, 152, 183	3eqtrd 2230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
185	4, 9, 184	3eqtrd 2230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 DECID wdc 835 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ≠ wne 2364 ∖ cdif 3150 ifcif 3557 {csn 3618 {cpr 3619 class class class wbr 4029 ↦ cmpt 4090 ⟶wf 5250 ‘cfv 5254 (class class class)co 5918 ℂcc 7870 ℝcr 7871 0cc0 7872 1c1 7873 + caddc 7875 · cmul 7877 < clt 8054 ≤ cle 8055 − cmin 8190 -cneg 8191 / cdiv 8691 ℕcn 8982 2c2 9033 7c7 9038 8c8 9039 ℕ₀cn0 9240 ℤcz 9317 ℤ_≥cuz 9592 ...cfz 10074 mod cmo 10393 seqcseq 10518 ↑cexp 10609 abscabs 11141 ∥ cdvds 11930 ℙcprime 12245 pCnt cpc 12422 /_L clgs 15113

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-5 9044 df-6 9045 df-7 9046 df-8 9047 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-proddc 11694 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246 df-phi 12349 df-pc 12423 df-lgs 15114

This theorem is referenced by: lgsval4lem 15127 lgsval2 15132

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