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Theorem lgsval2lem 14496
Description: Lemma for lgsval2 14502. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (if(𝑛 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) βˆ’ 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘˜ 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 12113 . . 3 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 lgsval.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (if(𝑛 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) βˆ’ 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
32lgsval 14490 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))))
41, 3sylan2 286 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))))
5 prmnn 12112 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnne0d 8966 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 β‰  0)
87neneqd 2368 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
98iffalsed 3546 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
106nnnn0d 9231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1110nn0ge0d 9234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ 𝑁)
12 0re 7959 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136nnred 8934 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 lenlt 8035 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 0))
1512, 13, 14sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 0))
1611, 15mpbid 147 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 932 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 3546 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
1913, 11absidd 11178 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2019fveq2d 5521 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
21 1zzd 9282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 1 ∈ β„€)
22 prmuz2 12133 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 df-2 8980 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 5520 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
2623, 25eleqtrdi 2270 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
27 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
281ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
297adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑁 β‰  0)
302lgsfcl 14494 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
32 elnnuz 9566 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3332biimpri 133 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3433adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3531, 34ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
36 zmulcl 9308 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑣 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑣) ∈ β„€)
3736adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑣 ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑣) ∈ β„€)
3821, 26, 35, 37seq3m1 10470 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)))
39 1t1e1 9073 . . . . . . . . 9 (1 Β· 1) = 1
4039a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (1 Β· 1) = 1)
41 uz2m1nn 9607 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
4223, 41syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
43 nnuz 9565 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4442, 43eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
45 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
466adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
47 elfznn 10056 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
4847adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
492lgsfvalg 14491 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1))
51 elfzelz 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5251zred 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5352ltm1d 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
54 peano2rem 8226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5552, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
56 elfzle2 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5752, 55, 56lensymd 8081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
5853, 57pm2.65i 639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))
59 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))))
6058, 59mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑁 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
6160con2i 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑁)
6261ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑁)
63 prmuz2 12133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
64 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„™)
65 dvdsprm 12139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘₯ = 𝑁))
6663, 64, 65syl2an2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘₯ = 𝑁))
6762, 66mtbird 673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁)
68 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
696ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
70 pceq0 12323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
7168, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ ((π‘₯ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
7267, 71mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (π‘₯ pCnt 𝑁) = 0)
7372oveq2d 5893 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)) = (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑0))
74 0zd 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ β„€)
75 1zzd 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
76 neg1z 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ β„€
7776a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„€ β†’ -1 ∈ β„€)
78 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
79 8nn 9088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 ∈ β„•
8079a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 8 ∈ β„•)
8178, 80zmodcld 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 mod 8) ∈ β„•0)
8281nn0zd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 mod 8) ∈ β„€)
83 zdceq 9330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 mod 8) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ DECID (𝐴 mod 8) = 1)
8482, 75, 83syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„€ β†’ DECID (𝐴 mod 8) = 1)
85 7nn 9087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7 ∈ β„•
8685nnzi 9276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 ∈ β„€
87 zdceq 9330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 mod 8) ∈ β„€ ∧ 7 ∈ β„€) β†’ DECID (𝐴 mod 8) = 7)
8882, 86, 87sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„€ β†’ DECID (𝐴 mod 8) = 7)
89 dcor 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (DECID (𝐴 mod 8) = 1 β†’ (DECID (𝐴 mod 8) = 7 β†’ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
9084, 88, 89sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„€ β†’ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
91 elprg 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 mod 8) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
9281, 91syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„€ β†’ ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
9392dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
9490, 93mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„€ β†’ DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
9575, 77, 94ifcldcd 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„€ β†’ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ β„€)
96 2nn 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„•
97 dvdsdc 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ DECID 2 βˆ₯ 𝐴)
9896, 97mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„€ β†’ DECID 2 βˆ₯ 𝐴)
9974, 95, 98ifcldcd 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„€ β†’ if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ β„€)
10099ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ π‘₯ = 2) β†’ if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ β„€)
101 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
102101ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
103 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
104 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ Β¬ π‘₯ = 2)
105104neqned 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ β‰  2)
106 eldifsn 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ β‰  2))
107103, 105, 106sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}))
108 oddprm 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
110109nnnn0d 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
111 zexpcl 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
112102, 110, 111syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
113112peano2zd 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) ∈ β„€)
114 prmnn 12112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ β„•)
115114ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
116113, 115zmodcld 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„•0)
117116nn0zd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„€)
118 peano2zm 9293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„€ β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) ∈ β„€)
119117, 118syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) ∈ β„€)
120 prmz 12113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ β„€)
121 2z 9283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
122121a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 2 ∈ β„€)
123 zdceq 9330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ DECID π‘₯ = 2)
124120, 122, 123syl2an2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ DECID π‘₯ = 2)
125100, 119, 124ifcldadc 3565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
126125zcnd 9378 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
127126adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
128127exp0d 10650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑0) = 1)
12973, 128eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)) = 1)
130 prmdc 12132 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• β†’ DECID π‘₯ ∈ β„™)
13148, 130syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ DECID π‘₯ ∈ β„™)
132129, 131ifeq1dadc 3566 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1) = if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1))
133 ifiddc 3570 . . . . . . . . . 10 (DECID π‘₯ ∈ β„™ β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1) = 1)
134131, 133syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1) = 1)
13550, 132, 1343eqtrd 2214 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
136 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1371ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1387adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑁 β‰  0)
139136, 137, 138, 30syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
140 elnnuz 9566 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• ↔ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
141140biimpri 133 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
142141adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
143139, 142ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
144 zmulcl 9308 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
145144adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
14640, 44, 135, 21, 143, 145seq3id3 10509 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 1)
147146oveq1d 5892 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘)))
1481adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
149101, 148, 7, 30syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
150149, 6ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
151150zcnd 9378 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
152151mulid2d 7978 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
15338, 147, 1523eqtrd 2214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
15420, 153eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
15518, 154oveq12d 5895 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘)))
1562lgsfvalg 14491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
157101, 6, 6, 156syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
158 iftrue 3541 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„™ β†’ if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
159158adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
1606nncnd 8935 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
161160exp1d 10651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁↑1) = 𝑁)
162161oveq2d 5893 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
163 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„™)
164 1z 9281 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
165 pcid 12325 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„™ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
166163, 164, 165sylancl 413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
167162, 166eqtr3d 2212 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
168167oveq2d 5893 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑1))
169 eqeq1 2184 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 2 ↔ 𝑁 = 2))
170 oveq1 5884 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
171170oveq1d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) / 2))
172171oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)))
173172oveq1d 5892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1))
174 id 19 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ π‘₯ = 𝑁)
175173, 174oveq12d 5895 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) = (((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
176175oveq1d 5892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) = ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))
177169, 176ifbieq2d 3560 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
178177eleq1d 2246 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚))
179126ralrimiva 2550 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„™ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
180178, 179, 163rspcdva 2848 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
181180exp1d 10651 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
182168, 181eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
183157, 159, 1823eqtrd 2214 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
184155, 152, 1833eqtrd 2214 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
1854, 9, 1843eqtrd 2214 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347   βˆ– cdif 3128  ifcif 3536  {csn 3594  {cpr 3595   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   Β· cmul 7818   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130  -cneg 8131   / cdiv 8631  β„•cn 8921  2c2 8972  7c7 8977  8c8 8978  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  ...cfz 10010   mod cmo 10324  seqcseq 10447  β†‘cexp 10521  abscabs 11008   βˆ₯ cdvds 11796  β„™cprime 12109   pCnt cpc 12286   /L clgs 14483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-phi 12213  df-pc 12287  df-lgs 14484
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  14497  lgsval2  14502
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