Theorem nfinf 7012

Description: Hypothesis builder for infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfinf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfinf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfinf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfinf	⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6980	. 2 ⊢ inf(𝐴, 𝐵, 𝑅) = sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
2		nfinf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfinf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfinf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
5	4	nfcnv 4804	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
6	2, 3, 5	nfsup 6987	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
7	1, 6	nfcxfr 2316	1 ⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2306  ^◡ccnv 4624  supcsup 6977  infcinf 6978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-cnv 4633  df-sup 6979  df-inf 6980

This theorem is referenced by: (None)