Theorem 2on0 6253

Description: Ordinal two is not zero. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
2on0	⊢ 2o ≠ ∅

Proof of Theorem 2on0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6244	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 6250	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		nsuceq0g 4278	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → suc 1o ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ suc 1o ≠ ∅
5	1, 4	eqnetri 2290	1 ⊢ 2o ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 1448   ≠ wne 2267  ∅c0 3310  Oncon0 4223  suc csuc 4225  1_oc1o 6236  2_oc2o 6237

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-uni 3684  df-tr 3967  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-1o 6243  df-2o 6244

This theorem is referenced by:  snnen2oprc  6683  nnnninf  6935  prarloclemcalc  7211  pwle2  12779