Theorem 2on0 6385

Description: Ordinal two is not zero. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
2on0	⊢ 2o ≠ ∅

Proof of Theorem 2on0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6376	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 6382	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		nsuceq0g 4390	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → suc 1o ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ≠ ∅
5	1, 4	eqnetri 2357	1 ⊢ 2o ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334  ∅c0 3404  Oncon0 4335  suc csuc 4337  1_oc1o 6368  2_oc2o 6369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-tr 4075  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-1o 6375  df-2o 6376

This theorem is referenced by:  snnen2oprc  6817  prarloclemcalc  7434  pwle2  13712