Theorem 2on0 6405

Description: Ordinal two is not zero. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
2on0	⊢ 2o ≠ ∅

Proof of Theorem 2on0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6396	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 6402	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		nsuceq0g 4403	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → suc 1o ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ≠ ∅
5	1, 4	eqnetri 2363	1 ⊢ 2o ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∅c0 3414  Oncon0 4348  suc csuc 4350  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-1o 6395  df-2o 6396

This theorem is referenced by:  snnen2oprc  6838  prarloclemcalc  7464  pwle2  14031