Theorem 2on0 6562

Description: Ordinal two is not zero. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
2on0	⊢ 2o ≠ ∅

Proof of Theorem 2on0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6553	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 6559	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		nsuceq0g 4506	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → suc 1o ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ≠ ∅
5	1, 4	eqnetri 2423	1 ⊢ 2o ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491  Oncon0 4451  suc csuc 4453  1_oc1o 6545  2_oc2o 6546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-tr 4182  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-1o 6552  df-2o 6553

This theorem is referenced by:  snnen2oprc  7009  prarloclemcalc  7677  pwle2  16295