Theorem 2on0 6394

Description: Ordinal two is not zero. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
2on0	⊢ 2o ≠ ∅

Proof of Theorem 2on0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6385	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 6391	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		nsuceq0g 4396	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → suc 1o ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ≠ ∅
5	1, 4	eqnetri 2359	1 ⊢ 2o ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∅c0 3409  Oncon0 4341  suc csuc 4343  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384  df-2o 6385

This theorem is referenced by:  snnen2oprc  6826  prarloclemcalc  7443  pwle2  13878