Theorem 2on0 6672

Description: Ordinal two is not zero. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
2on0	⊢ 2o ≠ ∅

Proof of Theorem 2on0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6663	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 6669	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		nsuceq0g 4545	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → suc 1o ≠ ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ≠ ∅
5	1, 4	eqnetri 2437	1 ⊢ 2o ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3512  Oncon0 4490  suc csuc 4492  1_oc1o 6655  2_oc2o 6656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-uni 3921  df-tr 4215  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-1o 6662  df-2o 6663

This theorem is referenced by:  snnen2oprc  7129  prarloclemcalc  7835  3dom  16904  pwle2  16914