Theorem xp01disjl 6339

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disjl	⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Proof of Theorem xp01disjl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6337	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2394	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		disjsn2 3594	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
4		xpdisj1 4971	. 2 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1332   ≠ wne 2309   ∩ cin 3075  ∅c0 3368  {csn 3532   × cxp 4545  1_oc1o 6314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-opab 3998  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-1o 6321

This theorem is referenced by:  djucomen  7089  djuassen  7090  xpdjuen  7091