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Theorem archnqq 7394
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7355 . 2 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 1pi 7292 . . . . . . 7 1oN
3 addclpi 7304 . . . . . . 7 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
42, 3mpan2 425 . . . . . 6 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
54adantr 276 . . . . 5 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
65adantr 276 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
7 pinn 7286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
8 1onn 6514 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ ω
9 nnacl 6474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
107, 8, 9sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
1110adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
12 nnm1 6519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 +o 1o) ∈ ω → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
14 elni2 7291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15 nnord 4607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16 ordgt0ge1 6429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1o𝑤))
1716biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o𝑤)
1815, 17sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o𝑤)
1914, 18sylbi 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N → 1o𝑤)
2019adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → 1o𝑤)
21 pinn 7286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2221adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → 𝑤 ∈ ω)
23 nnaword1 6507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
247, 8, 23sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
25 elni2 7291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
2625simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → ∅ ∈ 𝑧)
2724, 26sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
2827adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
29 nnmword 6512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
308, 29mp3anl1 1331 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (1o𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
3220, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
3313, 32eqsstrrd 3192 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
34 nna0 6468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
35 0lt1o 6434 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 1o
36 nnaordi 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
378, 36mpan 424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o))
3934, 38eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
4140adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
4233, 41sseldd 3156 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
43 mulclpi 7305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
444, 43sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
45 ltpiord 7296 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
4644, 45syldan 282 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
47 mulpiord 7294 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
484, 47sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
49 addpiord 7293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
502, 49mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
5251oveq1d 5883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
5348, 52eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
5453eleq2d 2247 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
5546, 54bitrd 188 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
5642, 55mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤))
57 mulcompig 7308 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
584, 57sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
5958breq2d 4012 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6056, 59mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
615, 2jctir 313 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1oN))
62 ordpipqqs 7351 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6361, 62mpdan 421 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
64 mulidpi 7295 . . . . . . . . . 10 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
6564adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
6665breq1d 4010 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6763, 66bitrd 188 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6860, 67mpbird 167 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
6968adantr 276 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
70 breq1 4003 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
7170adantl 277 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 167 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
73 opeq1 3776 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
7473eceq1d 6564 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
7574breq2d 4012 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
7675rspcev 2841 . . . 4 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 411 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
7877exlimivv 1896 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wrex 2456  wss 3129  c0 3422  cop 3594   class class class wbr 4000  Ord word 4358  ωcom 4585  (class class class)co 5868  1oc1o 6403   +o coa 6407   ·o comu 6408  [cec 6526  Ncnpi 7249   +N cpli 7250   ·N cmi 7251   <N clti 7252   ~Q ceq 7256  Qcnq 7257   <Q cltq 7262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-ltnqqs 7330
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7395  nqprm  7519  archpr  7620  archrecnq  7640
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