Theorem archnqq 7636

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2		1pi 7534	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
3		addclpi 7546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
7		pinn 7528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
8		1onn 6687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ ω
9		nnacl 6647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
12		nnm1 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 +o 1o) ∈ ω → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
14		elni2 7533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15		nnord 4710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16		ordgt0ge1 6602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1o ⊆ 𝑤))
17	16	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o ⊆ 𝑤)
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o ⊆ 𝑤)
19	14, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ N → 1o ⊆ 𝑤)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 1o ⊆ 𝑤)
21		pinn 7528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑤 ∈ ω)
23		nnaword1 6680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
24	7, 8, 23	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
25		elni2 7533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
26	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ 𝑧)
27	24, 26	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
29		nnmword 6685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
30	8, 29	mp3anl1 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
32	20, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
33	13, 32	eqsstrrd 3264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
34		nna0 6641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
35		0lt1o 6607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
36		nnaordi 6675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
37	8, 36	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o))
39	34, 38	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
42	33, 41	sseldd 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
43		mulclpi 7547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
44	4, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
45		ltpiord 7538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
46	44, 45	syldan 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
47		mulpiord 7536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
48	4, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
49		addpiord 7535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
50	2, 49	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
52	51	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
53	48, 52	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
54	53	eleq2d 2301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
55	46, 54	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
56	42, 55	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤))
57		mulcompig 7550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
58	4, 57	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
59	58	breq2d 4100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
60	56, 59	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
61	5, 2	jctir 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N))
62		ordpipqqs 7593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
63	61, 62	mpdan 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
64		mulidpi 7537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
66	65	breq1d 4098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
67	63, 66	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
68	60, 67	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
69	68	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
70		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
71	70	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
72	69, 71	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
73		opeq1 3862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
74	73	eceq1d 6737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
75	74	breq2d 4100	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
76	75	rspcev 2910	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
78	77	exlimivv 1945	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  Ord word 4459  ωcom 4688  (class class class)co 6017  1_oc1o 6574   +_o coa 6578   ·_o comu 6579  [cec 6699  Ncnpi 7491   +_N cpli 7492   ·_N cmi 7493   <_N clti 7494   ~_Q ceq 7498  Qcnq 7499   <_Q cltq 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-ltnqqs 7572

This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7637  nqprm  7761  archpr  7862  archrecnq  7882