ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq GIF version

Theorem archnqq 6879
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6840 . 2 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 1pi 6777 . . . . . . 7 1𝑜N
3 addclpi 6789 . . . . . . 7 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
42, 3mpan2 416 . . . . . 6 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
54adantr 270 . . . . 5 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
65adantr 270 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
7 pinn 6771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
8 1onn 6209 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
9 nnacl 6173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
107, 8, 9sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
1110adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
12 nnm1 6213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
14 elni2 6776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15 nnord 4389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16 ordgt0ge1 6131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1𝑜𝑤))
1716biimpa 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1815, 17sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜𝑤)
1914, 18sylbi 119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N → 1𝑜𝑤)
2019adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → 1𝑜𝑤)
21 pinn 6771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2221adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → 𝑤 ∈ ω)
23 nnaword1 6202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
247, 8, 23sylancl 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
25 elni2 6776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
2625simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → ∅ ∈ 𝑧)
2724, 26sseldd 3011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
2827adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
29 nnmword 6207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
308, 29mp3anl1 1263 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (1𝑜𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
3220, 31mpbid 145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
3313, 32eqsstr3d 3045 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
34 nna0 6167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) = 𝑧)
35 0lt1o 6136 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 1𝑜
36 nnaordi 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
378, 36mpan 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
3934, 38eqeltrrd 2160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4140adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
4233, 41sseldd 3011 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
43 mulclpi 6790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
444, 43sylan 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
45 ltpiord 6781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
4644, 45syldan 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
47 mulpiord 6779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
484, 47sylan 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
49 addpiord 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
502, 49mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
5251oveq1d 5606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5348, 52eqtrd 2115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
5453eleq2d 2152 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5546, 54bitrd 186 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
5642, 55mpbird 165 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤))
57 mulcompig 6793 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
584, 57sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
5958breq2d 3823 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6056, 59mpbid 145 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
615, 2jctir 306 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N))
62 ordpipqqs 6836 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6361, 62mpdan 412 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
64 mulidpi 6780 . . . . . . . . . 10 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6564adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
6665breq1d 3821 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6763, 66bitrd 186 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
6860, 67mpbird 165 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6968adantr 270 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70 breq1 3814 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7170adantl 271 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 165 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73 opeq1 3596 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
7473eceq1d 6258 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
7574breq2d 3823 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
7675rspcev 2712 . . . 4 (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 403 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
7877exlimivv 1819 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wrex 2354  wss 2984  c0 3269  cop 3425   class class class wbr 3811  Ord word 4153  ωcom 4368  (class class class)co 5591  1𝑜c1o 6106   +𝑜 coa 6110   ·𝑜 comu 6111  [cec 6220  Ncnpi 6734   +N cpli 6735   ·N cmi 6736   <N clti 6737   ~Q ceq 6741  Qcnq 6742   <Q cltq 6747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-ltnqqs 6815
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6880  nqprm  7004  archpr  7105  archrecnq  7125
  Copyright terms: Public domain W3C validator