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Theorem archnqq 7237
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7198 . 2 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 1pi 7135 . . . . . . 7 1oN
3 addclpi 7147 . . . . . . 7 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
42, 3mpan2 421 . . . . . 6 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
54adantr 274 . . . . 5 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
65adantr 274 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
7 pinn 7129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
8 1onn 6416 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ ω
9 nnacl 6376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
107, 8, 9sylancl 409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
1110adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
12 nnm1 6420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 +o 1o) ∈ ω → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
14 elni2 7134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15 nnord 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16 ordgt0ge1 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1o𝑤))
1716biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o𝑤)
1815, 17sylan 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o𝑤)
1914, 18sylbi 120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N → 1o𝑤)
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → 1o𝑤)
21 pinn 7129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → 𝑤 ∈ ω)
23 nnaword1 6409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
247, 8, 23sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
25 elni2 7134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
2625simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → ∅ ∈ 𝑧)
2724, 26sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
29 nnmword 6414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
308, 29mp3anl1 1309 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
3122, 11, 28, 30syl21anc 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → (1o𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
3220, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
3313, 32eqsstrrd 3134 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
34 nna0 6370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
35 0lt1o 6337 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ 1o
36 nnaordi 6404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
378, 36mpan 420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o))
3934, 38eqeltrrd 2217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
4140adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
4233, 41sseldd 3098 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
43 mulclpi 7148 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
444, 43sylan 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
45 ltpiord 7139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
4644, 45syldan 280 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
47 mulpiord 7137 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
484, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
49 addpiord 7136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
502, 49mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
5251oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
5348, 52eqtrd 2172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
5453eleq2d 2209 . . . . . . . . . 10 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
5546, 54bitrd 187 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
5642, 55mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤))
57 mulcompig 7151 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
584, 57sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
5958breq2d 3941 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6056, 59mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
615, 2jctir 311 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1oN))
62 ordpipqqs 7194 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6361, 62mpdan 417 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
64 mulidpi 7138 . . . . . . . . . 10 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
6564adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
6665breq1d 3939 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6763, 66bitrd 187 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
6860, 67mpbird 166 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
6968adantr 274 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
70 breq1 3932 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
7170adantl 275 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
7269, 71mpbird 166 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
73 opeq1 3705 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
7473eceq1d 6465 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
7574breq2d 3941 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
7675rspcev 2789 . . . 4 (((𝑧 +N 1o) ∈ N𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
776, 72, 76syl2anc 408 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
7877exlimivv 1868 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
791, 78syl 14 1 (𝐴Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  wrex 2417  wss 3071  c0 3363  cop 3530   class class class wbr 3929  Ord word 4284  ωcom 4504  (class class class)co 5774  1oc1o 6306   +o coa 6310   ·o comu 6311  [cec 6427  Ncnpi 7092   +N cpli 7093   ·N cmi 7094   <N clti 7095   ~Q ceq 7099  Qcnq 7100   <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7238  nqprm  7362  archpr  7463  archrecnq  7483
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