Theorem archnqq 7615

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2		1pi 7513	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
3		addclpi 7525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
7		pinn 7507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
8		1onn 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ ω
9		nnacl 6634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
12		nnm1 6679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 +o 1o) ∈ ω → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
14		elni2 7512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15		nnord 4704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16		ordgt0ge1 6589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1o ⊆ 𝑤))
17	16	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o ⊆ 𝑤)
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o ⊆ 𝑤)
19	14, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ N → 1o ⊆ 𝑤)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 1o ⊆ 𝑤)
21		pinn 7507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑤 ∈ ω)
23		nnaword1 6667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
24	7, 8, 23	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
25		elni2 7512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
26	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ 𝑧)
27	24, 26	sseldd 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
29		nnmword 6672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
30	8, 29	mp3anl1 1365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
32	20, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
33	13, 32	eqsstrrd 3261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
34		nna0 6628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
35		0lt1o 6594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
36		nnaordi 6662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
37	8, 36	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o))
39	34, 38	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
42	33, 41	sseldd 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
43		mulclpi 7526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
44	4, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
45		ltpiord 7517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
46	44, 45	syldan 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
47		mulpiord 7515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
48	4, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
49		addpiord 7514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
50	2, 49	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
52	51	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
53	48, 52	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
54	53	eleq2d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
55	46, 54	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
56	42, 55	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤))
57		mulcompig 7529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
58	4, 57	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
59	58	breq2d 4095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
60	56, 59	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
61	5, 2	jctir 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N))
62		ordpipqqs 7572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
63	61, 62	mpdan 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
64		mulidpi 7516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
66	65	breq1d 4093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
67	63, 66	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
68	60, 67	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
69	68	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
70		breq1 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
71	70	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
72	69, 71	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
73		opeq1 3857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
74	73	eceq1d 6724	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
75	74	breq2d 4095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
76	75	rspcev 2907	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
78	77	exlimivv 1943	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  Ord word 4453  ωcom 4682  (class class class)co 6007  1_oc1o 6561   +_o coa 6565   ·_o comu 6566  [cec 6686  Ncnpi 7470   +_N cpli 7471   ·_N cmi 7472   <_N clti 7473   ~_Q ceq 7477  Qcnq 7478   <_Q cltq 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-ltnqqs 7551

This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7616  nqprm  7740  archpr  7841  archrecnq  7861