Theorem archnqq 7784

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7745	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2		1pi 7682	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
3		addclpi 7694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
4	2, 3	mpan2 429	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
7		pinn 7676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
8		1onn 6793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ ω
9		nnacl 6753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
10	7, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +o 1o) ∈ ω)
12		nnm1 6798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 +o 1o) ∈ ω → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) = (𝑧 +o 1o))
14		elni2 7681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15		nnord 4759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16		ordgt0ge1 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1o ⊆ 𝑤))
17	16	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o ⊆ 𝑤)
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1o ⊆ 𝑤)
19	14, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ N → 1o ⊆ 𝑤)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 1o ⊆ 𝑤)
21		pinn 7676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑤 ∈ ω)
23		nnaword1 6786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
24	7, 8, 23	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ⊆ (𝑧 +o 1o))
25		elni2 7681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
26	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ 𝑧)
27	24, 26	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ∅ ∈ (𝑧 +o 1o))
29		nnmword 6791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
30	8, 29	mp3anl1 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +o 1o) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +o 1o)) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
32	20, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +o 1o) ·o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
33	13, 32	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +o 1o) ⊆ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
34		nna0 6747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
35		0lt1o 6713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
36		nnaordi 6781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
37	8, 36	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o)))
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 1o))
39	34, 38	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 1o))
42	33, 41	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
43		mulclpi 7695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
44	4, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N)
45		ltpiord 7686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
46	44, 45	syldan 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤)))
47		mulpiord 7684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
48	4, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤))
49		addpiord 7683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
50	2, 49	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1o) = (𝑧 +o 1o))
52	51	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·o 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
53	48, 52	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤))
54	53	eleq2d 2308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
55	46, 54	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +o 1o) ·o 𝑤)))
56	42, 55	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤))
57		mulcompig 7698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
58	4, 57	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
59	58	breq2d 4142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1o) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
60	56, 59	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)))
61	5, 2	jctir 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N))
62		ordpipqqs 7741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
63	61, 62	mpdan 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
64		mulidpi 7685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
66	65	breq1d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 1o) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
67	63, 66	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1o))))
68	60, 67	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
69	68	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
70		breq1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
71	70	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
72	69, 71	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
73		opeq1 3904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
74	73	eceq1d 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q )
75	74	breq2d 4142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1o) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ))
76	75	rspcev 2929	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +N 1o) ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
78	77	exlimivv 1952	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  Ord word 4507  ωcom 4737  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680   +_o coa 6684   ·_o comu 6685  [cec 6805  Ncnpi 7639   +_N cpli 7640   ·_N cmi 7641   <_N clti 7642   ~_Q ceq 7646  Qcnq 7647   <_Q cltq 7652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-ltnqqs 7720

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