Theorem ordsucim 4484

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucim	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsucim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4363	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 4406	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 4356	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq2i 2237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6		elun 3268	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ {𝐴}))
7		velsn 3600	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
8	7	orbi2i 757	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐴))
9	5, 6, 8	3bitri 205	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ suc 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐴))
10		dford3 4352	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
11	10	simprbi 273	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥)
12		df-ral 2453	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
13	11, 12	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
14	13	19.21bi 1551	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
15		treq 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
16	1, 15	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 → Tr 𝑥))
17	14, 16	jaod 712	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐴) → Tr 𝑥))
18	9, 17	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ suc 𝐴 → Tr 𝑥))
19	18	ralrimiv 2542	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ suc 𝐴Tr 𝑥)
20		dford3 4352	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 ↔ (Tr suc 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝐴Tr 𝑥))
21	3, 19, 20	sylanbrc 415	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 703  ∀wal 1346   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   ∪ cun 3119  {csn 3583  Tr wtr 4087  Ord word 4347  suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  suceloni  4485  ordsucg  4486  onsucsssucr  4493  ordtriexmidlem  4503  2ordpr  4508  ordsuc  4547  nnsucsssuc  6471