Theorem ordsucim 4477

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucim	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsucim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4356	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 4399	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 4349	. . . . . 6 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq2i 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6		elun 3263	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ {𝐴}))
7		velsn 3593	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
8	7	orbi2i 752	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐴))
9	5, 6, 8	3bitri 205	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ suc 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐴))
10		dford3 4345	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
11	10	simprbi 273	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥)
12		df-ral 2449	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
13	11, 12	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
14	13	19.21bi 1546	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
15		treq 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
16	1, 15	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 → Tr 𝑥))
17	14, 16	jaod 707	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐴) → Tr 𝑥))
18	9, 17	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ suc 𝐴 → Tr 𝑥))
19	18	ralrimiv 2538	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ suc 𝐴Tr 𝑥)
20		dford3 4345	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 ↔ (Tr suc 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝐴Tr 𝑥))
21	3, 19, 20	sylanbrc 414	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698  ∀wal 1341   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ∪ cun 3114  {csn 3576  Tr wtr 4080  Ord word 4340  suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  suceloni  4478  ordsucg  4479  onsucsssucr  4486  ordtriexmidlem  4496  2ordpr  4501  ordsuc  4540  nnsucsssuc  6460