Theorem prcom 3787

Description: Commutative law for unordered pairs. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prcom	⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}

Proof of Theorem prcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 3373	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ {𝐴})
2		df-pr 3716	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
3		df-pr 3716	. 2 ⊢ {𝐵, 𝐴} = ({𝐵} ∪ {𝐴})
4	1, 2, 3	3eqtr4i 2269	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∪ cun 3218  {csn 3709  {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-pr 3716

This theorem is used by:  preq2  3789  tpcoma  3805  tpidm23  3812  prid2g  3816  prid2  3818  prprc2  3822  difprsn2  3855  ssprsseq  3877  preqr2g  3892  preqr2  3894  preq12b  3895  elpr2elpr  3901  fvpr2  5920  fvpr2g  5922  pr2cv2  7542  en2other2  7548  indfdc  9298  maxcom  11969  mincom  11995  xrmax2sup  12020  xrmaxltsup  12024  xrmaxadd  12027  xrbdtri  12042  lspprid2  14749  qtopbasss  15622  uhgr2edg  16447  usgredg4  16456  usgredg2vlem1  16463  usgredg2vlem2  16464  1hegrvtxdg1rfi  16551  vdegp1cid  16557  clwwlkn2  16662  clwwlknonex2  16680