Theorem sneq 3700

Description: Equality theorem for singletons. Part of Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
sneq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})

Proof of Theorem sneq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2242	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝐵))
2	1	abbidv 2352	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐴} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐵})
3		df-sn 3695	. 2 ⊢ {𝐴} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐴}
4		df-sn 3695	. 2 ⊢ {𝐵} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐵}
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2290	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  {cab 2218  {csn 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-sn 3695

This theorem is referenced by:  sneqi  3701  sneqd  3702  euabsn  3761  absneu  3763  preq1  3768  tpeq3  3779  snssgOLD  3830  sneqrg  3866  sneqbg  3867  opeq1  3883  unisng  3931  exmidsssn  4315  exmidsssnc  4316  suceq  4523  snnex  4569  opeliunxp  4805  relop  4905  elimasng  5130  dmsnsnsng  5240  elxp4  5250  elxp5  5251  iotajust  5311  fconstg  5564  f1osng  5657  nfvres  5706  fsng  5850  fsn2g  5852  funopsn  5860  fnressn  5870  fressnfv  5871  funfvima3  5920  isoselem  5993  1stvalg  6336  2ndvalg  6337  2ndval2  6350  fo1st  6351  fo2nd  6352  f1stres  6353  f2ndres  6354  mpomptsx  6393  dmmpossx  6395  fmpox  6396  suppval  6437  suppsnopdc  6450  brtpos2  6482  dftpos4  6494  tpostpos  6495  eceq1  6802  fvdiagfn  6928  mapsncnv  6930  elixpsn  6970  ixpsnf1o  6971  ensn1g  7037  en1  7039  xpsneng  7073  xpcomco  7077  xpassen  7081  xpdom2  7082  phplem3  7108  phplem3g  7110  fidifsnen  7125  xpfi  7192  pm54.43  7487  cc2lem  7580  cc2  7581  exp3val  10903  fsum2dlemstep  12120  fsumcnv  12123  fisumcom2  12124  fprod2dlemstep  12308  fprodcnv  12311  fprodcom2fi  12312  pwsval  13504  lssats2  14562  lspsneq0  14574  txswaphmeolem  15185  vtxdgfifival  16286  vtxdumgrfival  16293  1loopgrvd2fi  16300  wlk1walkdom  16354  wlkres  16374  eupth2lem3lem3fi  16465