ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdxmet GIF version

Theorem bdxmet 13668
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdxmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetcl 13519 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 13532 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4 elxrge0 9965 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 417 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1204 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 283 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 13517 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
983ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
109ffnd 5362 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
11 fnovim 5977 . . . . 5 (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
1210, 11syl 14 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
13 eqidd 2178 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )))
14 preq1 3668 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → {𝑧, 𝑅} = {(𝑥𝐶𝑦), 𝑅})
1514infeq1d 7005 . . . 4 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
167, 12, 13, 15fmpoco 6211 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐶) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < )))
17 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
1816, 17eqtr4di 2228 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐶) = 𝐷)
19 elxrge0 9965 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧))
2019simplbi 274 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 998 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
22 xrmincl 11258 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 290 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 5667 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
25 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))
26 preq1 3668 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑅} = {𝑎, 𝑅})
2726infeq1d 7005 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑎 → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
28 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
29 elxrge0 9965 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
3029simplbi 274 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
31 xrmincl 11258 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3230, 21, 31syl2anr 290 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3325, 27, 28, 32fvmptd3 5605 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
3433eqeq1d 2186 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = 0 ↔ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0))
35 0xr 7994 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
3635a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ∈ ℝ*)
3730adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
3821adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
39 xrltmininf 11262 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑅)))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑅)))
41 simp3 999 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
4241adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 < 𝑅)
4342biantrud 304 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 < 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑅)))
4440, 43bitr4d 191 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ 0 < 𝑎))
4544notbid 667 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ ¬ 0 < 𝑎))
4628, 29sylib 122 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
4746simprd 114 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
48 xrltle 9785 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4935, 21, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5041, 49mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
5150adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
52 xrlemininf 11263 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑅)))
5336, 37, 38, 52syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑅)))
5447, 51, 53mpbir2and 944 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
55 xrlenlt 8012 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0))
5635, 32, 55sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0))
5754, 56mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0)
5857biantrurd 305 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ ¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))))
59 xrlttri3 9784 . . . . . . 7 ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ (¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ ¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))))
6032, 36, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ (¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ ¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))))
6158, 60bitr4d 191 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0))
62 xrlenlt 8012 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
6335, 37, 62sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
6447, 63mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ¬ 𝑎 < 0)
6564biantrurd 305 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < 𝑎 ↔ (¬ 𝑎 < 0 ∧ ¬ 0 < 𝑎)))
66 xrlttri3 9784 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑎 = 0 ↔ (¬ 𝑎 < 0 ∧ ¬ 0 < 𝑎)))
6737, 36, 66syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 ↔ (¬ 𝑎 < 0 ∧ ¬ 0 < 𝑎)))
6865, 67bitr4d 191 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < 𝑎𝑎 = 0))
6945, 61, 683bitr3d 218 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
7034, 69bitrd 188 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
7130ad2antrl 490 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
7221adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
73 xrmin1inf 11259 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎)
7471, 72, 73syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎)
7571, 72, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
76 elxrge0 9965 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
7776simplbi 274 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
7877ad2antll 491 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
79 xrletr 9795 . . . . . . . 8 ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏))
8075, 71, 78, 79syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏))
8174, 80mpand 429 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏))
82 xrmin2inf 11260 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
8371, 72, 82syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
8481, 83jctird 317 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏 ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)))
85 xrlemininf 11263 . . . . . 6 ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏 ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)))
8675, 78, 72, 85syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏 ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)))
8784, 86sylibrd 169 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
8833adantrr 479 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
89 preq1 3668 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → {𝑧, 𝑅} = {𝑏, 𝑅})
9089infeq1d 7005 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ))
91 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
9291adantl 277 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
93 xrmincl 11258 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9478, 72, 93syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9525, 90, 92, 94fvmptd3 5605 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏) = inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ))
9688, 95breq12d 4013 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏) ↔ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
9787, 96sylibrd 169 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏)))
9829simprbi 275 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9998ad2antrl 490 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
10076simprbi 275 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
101100ad2antll 491 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
10241adantr 276 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 < 𝑅)
103 xrbdtri 11268 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
10471, 99, 78, 101, 72, 102, 103syl222anc 1254 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
105 preq1 3668 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → {𝑧, 𝑅} = {(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅})
106105infeq1d 7005 . . . . 5 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ))
107 ge0xaddcl 9970 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
108107adantl 277 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
10971, 78xaddcld 9871 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
110 xrmincl 11258 . . . . . 6 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
111109, 72, 110syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11225, 106, 108, 111fvmptd3 5605 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ))
11388, 95oveq12d 5887 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏)) = (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
114104, 112, 1133brtr4d 4032 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏)))
1151, 24, 70, 97, 114comet 13666 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
11618, 115eqeltrrd 2255 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cpr 3592   class class class wbr 4000  cmpt 4061   × cxp 4621  ccom 4627   Fn wfn 5207  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  infcinf 6976  0cc0 7802  +∞cpnf 7979  *cxr 7981   < clt 7982  cle 7983   +𝑒 cxad 9757  [,]cicc 9878  ∞Metcxmet 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-xmet 13155
This theorem is referenced by:  bdmet  13669  bdbl  13670  bdmopn  13671
  Copyright terms: Public domain W3C validator