ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdxmet GIF version

Theorem bdxmet 12686
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdxmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetcl 12537 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 12550 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4 elxrge0 9775 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 413 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1182 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 281 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 12535 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
983ad2ant1 1002 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
109ffnd 5273 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
11 fnovim 5879 . . . . 5 (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
1210, 11syl 14 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
13 eqidd 2140 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )))
14 preq1 3600 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → {𝑧, 𝑅} = {(𝑥𝐶𝑦), 𝑅})
1514infeq1d 6899 . . . 4 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
167, 12, 13, 15fmpoco 6113 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐶) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < )))
17 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
1816, 17eqtr4di 2190 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐶) = 𝐷)
19 elxrge0 9775 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧))
2019simplbi 272 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 982 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
22 xrmincl 11049 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 288 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 5575 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
25 eqid 2139 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))
26 preq1 3600 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑅} = {𝑎, 𝑅})
2726infeq1d 6899 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑎 → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
28 simpr 109 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
29 elxrge0 9775 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
3029simplbi 272 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
31 xrmincl 11049 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3230, 21, 31syl2anr 288 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3325, 27, 28, 32fvmptd3 5514 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
3433eqeq1d 2148 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = 0 ↔ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0))
35 0xr 7826 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
3635a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ∈ ℝ*)
3730adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
3821adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
39 xrltmininf 11053 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑅)))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1216 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑅)))
41 simp3 983 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
4241adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 < 𝑅)
4342biantrud 302 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 < 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∧ 0 < 𝑅)))
4440, 43bitr4d 190 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ 0 < 𝑎))
4544notbid 656 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ ¬ 0 < 𝑎))
4628, 29sylib 121 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
4746simprd 113 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
48 xrltle 9598 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4935, 21, 48sylancr 410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5041, 49mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
5150adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
52 xrlemininf 11054 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑅)))
5336, 37, 38, 52syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑅)))
5447, 51, 53mpbir2and 928 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
55 xrlenlt 7843 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0))
5635, 32, 55sylancr 410 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ ¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0))
5754, 56mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0)
5857biantrurd 303 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ ¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))))
59 xrlttri3 9597 . . . . . . 7 ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ (¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ ¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))))
6032, 36, 59syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ (¬ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ ¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))))
6158, 60bitr4d 190 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0))
62 xrlenlt 7843 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
6335, 37, 62sylancr 410 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
6447, 63mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ¬ 𝑎 < 0)
6564biantrurd 303 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < 𝑎 ↔ (¬ 𝑎 < 0 ∧ ¬ 0 < 𝑎)))
66 xrlttri3 9597 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑎 = 0 ↔ (¬ 𝑎 < 0 ∧ ¬ 0 < 𝑎)))
6737, 36, 66syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 ↔ (¬ 𝑎 < 0 ∧ ¬ 0 < 𝑎)))
6865, 67bitr4d 190 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (¬ 0 < 𝑎𝑎 = 0))
6945, 61, 683bitr3d 217 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
7034, 69bitrd 187 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
7130ad2antrl 481 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
7221adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
73 xrmin1inf 11050 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎)
7471, 72, 73syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎)
7571, 72, 31syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
76 elxrge0 9775 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
7776simplbi 272 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
7877ad2antll 482 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
79 xrletr 9605 . . . . . . . 8 ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏))
8075, 71, 78, 79syl3anc 1216 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏))
8174, 80mpand 425 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏))
82 xrmin2inf 11051 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
8371, 72, 82syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
8481, 83jctird 315 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏 ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)))
85 xrlemininf 11054 . . . . . 6 ((inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏 ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)))
8675, 78, 72, 85syl3anc 1216 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑏 ∧ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)))
8784, 86sylibrd 168 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
8833adantrr 470 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) = inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ))
89 preq1 3600 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → {𝑧, 𝑅} = {𝑏, 𝑅})
9089infeq1d 6899 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ))
91 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
9291adantl 275 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
93 xrmincl 11049 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9478, 72, 93syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9525, 90, 92, 94fvmptd3 5514 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏) = inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ))
9688, 95breq12d 3942 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏) ↔ inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
9787, 96sylibrd 168 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏)))
9829simprbi 273 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9998ad2antrl 481 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
10076simprbi 273 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
101100ad2antll 482 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
10241adantr 274 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 < 𝑅)
103 xrbdtri 11059 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
10471, 99, 78, 101, 72, 102, 103syl222anc 1232 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
105 preq1 3600 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → {𝑧, 𝑅} = {(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅})
106105infeq1d 6899 . . . . 5 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ))
107 ge0xaddcl 9780 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
108107adantl 275 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
10971, 78xaddcld 9681 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
110 xrmincl 11049 . . . . . 6 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
111109, 72, 110syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11225, 106, 108, 111fvmptd3 5514 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = inf({(𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ))
11388, 95oveq12d 5792 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏)) = (inf({𝑎, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
114104, 112, 1133brtr4d 3960 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))‘𝑏)))
1151, 24, 70, 97, 114comet 12684 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
11618, 115eqeltrrd 2217 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  {cpr 3528   class class class wbr 3929  cmpt 3989   × cxp 4537  ccom 4543   Fn wfn 5118  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  cmpo 5776  infcinf 6870  0cc0 7634  +∞cpnf 7811  *cxr 7813   < clt 7814  cle 7815   +𝑒 cxad 9571  [,]cicc 9688  ∞Metcxmet 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-rp 9456  df-xneg 9573  df-xadd 9574  df-icc 9692  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-xmet 12173
This theorem is referenced by:  bdmet  12687  bdbl  12688  bdmopn  12689
  Copyright terms: Public domain W3C validator