ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdxmet GIF version

Theorem bdxmet 13937
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdxmet ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem bdxmet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetcl 13788 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 13801 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
4 elxrge0 9977 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 417 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1204 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 283 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 13786 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
983ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
109ffnd 5366 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
11 fnovim 5982 . . . . 5 (𝐢 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ 𝐢 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐢𝑦)))
1210, 11syl 14 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐢𝑦)))
13 eqidd 2178 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )))
14 preq1 3669 . . . . 5 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ {𝑧, 𝑅} = {(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅})
1514infeq1d 7010 . . . 4 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
167, 12, 13, 15fmpoco 6216 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < )))
17 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
1816, 17eqtr4di 2228 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐢) = 𝐷)
19 elxrge0 9977 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑧))
2019simplbi 274 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 998 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 xrmincl 11273 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 290 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 5671 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )):(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
25 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))
26 preq1 3669 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘Ž β†’ {𝑧, 𝑅} = {π‘Ž, 𝑅})
2726infeq1d 7010 . . . . . 6 (𝑧 = π‘Ž β†’ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))
28 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘Ž ∈ (0[,]+∞))
29 elxrge0 9977 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘Ž))
3029simplbi 274 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
31 xrmincl 11273 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3230, 21, 31syl2anr 290 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3325, 27, 28, 32fvmptd3 5609 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) = inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))
3433eqeq1d 2186 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) = 0 ↔ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0))
35 0xr 8003 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
3635a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
3730adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3821adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
39 xrltmininf 11277 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < π‘Ž ∧ 0 < 𝑅)))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < π‘Ž ∧ 0 < 𝑅)))
41 simp3 999 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅)
4241adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 < 𝑅)
4342biantrud 304 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (0 < π‘Ž ↔ (0 < π‘Ž ∧ 0 < 𝑅)))
4440, 43bitr4d 191 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ 0 < π‘Ž))
4544notbid 667 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (Β¬ 0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ Β¬ 0 < π‘Ž))
4628, 29sylib 122 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘Ž))
4746simprd 114 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
48 xrltle 9797 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
4935, 21, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (0 < 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
5041, 49mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 ≀ 𝑅)
5150adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
52 xrlemininf 11278 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑅)))
5336, 37, 38, 52syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (0 ≀ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≀ π‘Ž ∧ 0 ≀ 𝑅)))
5447, 51, 53mpbir2and 944 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))
55 xrlenlt 8021 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ Β¬ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0))
5635, 32, 55sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (0 ≀ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ Β¬ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0))
5754, 56mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ Β¬ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0)
5857biantrurd 305 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (Β¬ 0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (Β¬ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ Β¬ 0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))))
59 xrlttri3 9796 . . . . . . 7 ((inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ (Β¬ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ Β¬ 0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))))
6032, 36, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ (Β¬ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) < 0 ∧ Β¬ 0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))))
6158, 60bitr4d 191 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (Β¬ 0 < inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0))
62 xrlenlt 8021 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž < 0))
6335, 37, 62sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (0 ≀ π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž < 0))
6447, 63mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ Β¬ π‘Ž < 0)
6564biantrurd 305 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (Β¬ 0 < π‘Ž ↔ (Β¬ π‘Ž < 0 ∧ Β¬ 0 < π‘Ž)))
66 xrlttri3 9796 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ž = 0 ↔ (Β¬ π‘Ž < 0 ∧ Β¬ 0 < π‘Ž)))
6737, 36, 66syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž = 0 ↔ (Β¬ π‘Ž < 0 ∧ Β¬ 0 < π‘Ž)))
6865, 67bitr4d 191 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (Β¬ 0 < π‘Ž ↔ π‘Ž = 0))
6945, 61, 683bitr3d 218 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) = 0 ↔ π‘Ž = 0))
7034, 69bitrd 188 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) = 0 ↔ π‘Ž = 0))
7130ad2antrl 490 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
7221adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
73 xrmin1inf 11274 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ π‘Ž)
7471, 72, 73syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ π‘Ž)
7571, 72, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
76 elxrge0 9977 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑏))
7776simplbi 274 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
7877ad2antll 491 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
79 xrletr 9807 . . . . . . . 8 ((inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ π‘Ž ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑏))
8075, 71, 78, 79syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ π‘Ž ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑏))
8174, 80mpand 429 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑏))
82 xrmin2inf 11275 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)
8371, 72, 82syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)
8481, 83jctird 317 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑏 ∧ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)))
85 xrlemininf 11278 . . . . . 6 ((inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑏 ∧ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)))
8675, 78, 72, 85syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑏 ∧ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)))
8784, 86sylibrd 169 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
8833adantrr 479 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) = inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ))
89 preq1 3669 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 β†’ {𝑧, 𝑅} = {𝑏, 𝑅})
9089infeq1d 7010 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 β†’ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ))
91 simpr 110 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
9291adantl 277 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
93 xrmincl 11273 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9478, 72, 93syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9525, 90, 92, 94fvmptd3 5609 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘) = inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < ))
9688, 95breq12d 4016 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) ≀ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘) ↔ inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
9787, 96sylibrd 169 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) ≀ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘)))
9829simprbi 275 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
9998ad2antrl 490 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
10076simprbi 275 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ 𝑏)
101100ad2antll 491 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ 𝑏)
10241adantr 276 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 < 𝑅)
103 xrbdtri 11283 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘Ž) ∧ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑏) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ inf({(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
10471, 99, 78, 101, 72, 102, 103syl222anc 1254 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ inf({(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
105 preq1 3669 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ {𝑧, 𝑅} = {(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅})
106105infeq1d 7010 . . . . 5 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ) = inf({(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ))
107 ge0xaddcl 9982 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
108107adantl 277 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
10971, 78xaddcld 9883 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
110 xrmincl 11273 . . . . . 6 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
111109, 72, 110syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ inf({(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11225, 106, 108, 111fvmptd3 5609 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) = inf({(π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅}, ℝ*, < ))
11388, 95oveq12d 5892 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘)) = (inf({π‘Ž, 𝑅}, ℝ*, < ) +𝑒 inf({𝑏, 𝑅}, ℝ*, < )))
114104, 112, 1133brtr4d 4035 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) ≀ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘Ž) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < ))β€˜π‘)))
1151, 24, 70, 97, 114comet 13935 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ inf({𝑧, 𝑅}, ℝ*, < )) ∘ 𝐢) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11618, 115eqeltrrd 2255 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3593   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Γ— cxp 4624   ∘ ccom 4630   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  infcinf 6981  0cc0 7810  +∞cpnf 7988  β„*cxr 7990   < clt 7991   ≀ cle 7992   +𝑒 cxad 9769  [,]cicc 9890  βˆžMetcxmet 13376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-icc 9894  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-xmet 13384
This theorem is referenced by:  bdmet  13938  bdbl  13939  bdmopn  13940
  Copyright terms: Public domain W3C validator