Theorem uneq1d 3382

Description: Deduction adding union to the right in a class equality. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
uneq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
uneq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uneq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		uneq1 3376	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is used by:  ifeq1  3643  preq1  3788  tpeq1  3797  tpeq2  3798  resasplitss  5572  fmptpr  5910  funresdfunsnss  5921  rdgisucinc  6660  oasuc  6741  omsuc  6749  funresdfunsndc  6783  fisseneq  7246  sbthlemi5  7283  exmidfodomrlemim  7559  fzpred  10494  fseq1p1m1  10518  nn0split  10560  nnsplit  10561  fzo0sn0fzo1  10656  fzosplitpr  10669  fzosplitprm1  10670  zsupcllemstep  10679  hashfibclem  11304  fsum1p  12210  fprod1p  12391  setsvala  13441  setsabsd  13449  setscom  13450  prdsex  14279  prdsval  14280  psrmulrg  15186  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  birthdaylem2  16226