Theorem uneq1d 3382

Description: Deduction adding union to the right in a class equality. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
uneq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
uneq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uneq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		uneq1 3376	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is used by:  ifeq1  3643  preq1  3788  tpeq1  3797  tpeq2  3798  resasplitss  5572  fmptpr  5910  funresdfunsnss  5921  rdgisucinc  6661  oasuc  6742  omsuc  6750  funresdfunsndc  6784  fisseneq  7248  sbthlemi5  7285  exmidfodomrlemim  7559  fzpred  10493  fseq1p1m1  10517  nn0split  10559  nnsplit  10560  fzo0sn0fzo1  10655  fzosplitpr  10668  fzosplitprm1  10669  zsupcllemstep  10678  hashfibclem  11303  fsum1p  12209  fprod1p  12390  setsvala  13440  setsabsd  13448  setscom  13449  prdsex  14278  prdsval  14279  psrmulrg  15195  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  birthdaylem2  16243