Theorem uneq1d 3382

Description: Deduction adding union to the right in a class equality. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
uneq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
uneq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uneq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		uneq1 3376	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is used by:  ifeq1  3643  preq1  3788  tpeq1  3797  tpeq2  3798  resasplitss  5569  fmptpr  5907  funresdfunsnss  5918  rdgisucinc  6656  oasuc  6737  omsuc  6745  funresdfunsndc  6779  fisseneq  7242  sbthlemi5  7278  exmidfodomrlemim  7553  fzpred  10477  fseq1p1m1  10501  nn0split  10543  nnsplit  10544  fzo0sn0fzo1  10639  fzosplitpr  10652  fzosplitprm1  10653  zsupcllemstep  10662  hashfibclem  11282  fsum1p  12185  fprod1p  12366  setsvala  13383  setsabsd  13391  setscom  13392  prdsex  14172  prdsval  14173  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  birthdaylem2  16088