Theorem pwntru 4122

Description: A slight strengthening of pwtrufal 13192. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pwntru	⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem pwntru

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ≠ {∅})
2	1	neneqd 2329	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ 𝐴 = {∅})
3		simpll 518	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ {∅})
4		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ⊆ {∅})
5	4	sselda 3097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {∅})
6		elsni 3545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ∅)
8		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	eqeltrrd 2217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {∅} ⊆ 𝐴)
11	3, 10	eqssd 3114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {∅})
12	11	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
13	12	exlimdv 1791	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
14	2, 13	mtod 652	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
15		notm0 3383	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
16	14, 15	sylib 121	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-sn 3533

This theorem is referenced by:  exmid1dc  4123  exmid1stab  13195