Theorem pwntru 4232

Description: A slight strengthening of pwtrufal 15642. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pwntru	⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem pwntru

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ≠ {∅})
2	1	neneqd 2388	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ 𝐴 = {∅})
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ {∅})
4		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ⊆ {∅})
5	4	sselda 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {∅})
6		elsni 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ∅)
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	eqeltrrd 2274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {∅} ⊆ 𝐴)
11	3, 10	eqssd 3200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {∅})
12	11	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
13	12	exlimdv 1833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
14	2, 13	mtod 664	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
15		notm0 3471	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
16	14, 15	sylib 122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628

This theorem is referenced by:  exmid1dc  4233  exmid1stab  4241