Theorem pwntru 4130

Description: A slight strengthening of pwtrufal 13365. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pwntru	⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem pwntru

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ≠ {∅})
2	1	neneqd 2330	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ 𝐴 = {∅})
3		simpll 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ {∅})
4		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ⊆ {∅})
5	4	sselda 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {∅})
6		elsni 3550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ∅)
8		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	eqeltrrd 2218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3673	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {∅} ⊆ 𝐴)
11	3, 10	eqssd 3119	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {∅})
12	11	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
13	12	exlimdv 1792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
14	2, 13	mtod 653	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
15		notm0 3388	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
16	14, 15	sylib 121	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  {csn 3532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-sn 3538

This theorem is referenced by:  exmid1dc  4131  exmid1stab  13368