Theorem pwntru 4295

Description: A slight strengthening of pwtrufal 16702. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pwntru	⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem pwntru

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ≠ {∅})
2	1	neneqd 2424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ 𝐴 = {∅})
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ {∅})
4		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 ⊆ {∅})
5	4	sselda 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {∅})
6		elsni 3691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ∅)
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	eqeltrrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3823	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {∅} ⊆ 𝐴)
11	3, 10	eqssd 3245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = {∅})
12	11	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
13	12	exlimdv 1867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {∅}))
14	2, 13	mtod 669	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
15		notm0 3517	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
16	14, 15	sylib 122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ {∅} ∧ 𝐴 ≠ {∅}) → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  exmid1dc  4296  exmid1stab  4304  pw1ndom3lem  16692