Theorem snssd 3860

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715

This theorem is used by:  pwntru  4338  ecinxp  6888  xpdom3m  7136  ac6sfi  7206  undifdc  7235  iunfidisj  7264  fidcenumlemr  7277  ssfii  7313  en2other2  7554  pw1m  7589  un0addcl  9607  un0mulcl  9608  fseq1p1m1  10518  hashfibclem  11304  hashf1lem1  11307  hashf1lem2  11308  fsumge1  12253  fprodsplit1f  12426  bitsinv1  12754  phicl2  13021  ennnfonelemhf1o  13362  imasaddfnlemg  13694  imasaddflemg  13696  0subm  13850  gsumvallem2  13859  trivsubgd  14062  trivsubgsnd  14063  trivnsgd  14079  kerf1ghm  14136  gsumclfi  14249  gsummptfidmadd  14251  gsumsubmclfi  14253  gsumresfi  14263  gsum2dfilem2  14272  lsssn0  14816  lss0ss  14817  lsptpcl  14840  lspsnvsi  14864  lspun0  14871  mulgrhm2  15054  zndvds  15093  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  rest0  15405  iscnp4  15444  cnconst2  15459  cnpdis  15468  txdis  15503  txdis1cn  15504  fsumcncntop  15793  dvef  15953  plyf  15963  elplyr  15966  elplyd  15967  ply1term  15969  plyaddlem  15975  plymullem  15976  plycolemc  15984  plycn  15988  dvply2g  15992  ppiprm  16259  chtprm  16261  perfectlem2  16300  upgr1elem1  16566  bj-omtrans  17187  pwtrufal  17232