Theorem snssd 3813

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  pwntru  4283  ecinxp  6765  xpdom3m  7001  ac6sfi  7068  undifdc  7097  iunfidisj  7124  fidcenumlemr  7133  ssfii  7152  en2other2  7385  pw1m  7420  un0addcl  9413  un0mulcl  9414  fseq1p1m1  10302  fsumge1  11987  fprodsplit1f  12160  bitsinv1  12488  phicl2  12751  ennnfonelemhf1o  12999  imasaddfnlemg  13362  imasaddflemg  13364  0subm  13532  gsumvallem2  13541  trivsubgd  13752  trivsubgsnd  13753  trivnsgd  13769  kerf1ghm  13826  lsssn0  14349  lss0ss  14350  lsptpcl  14373  lspsnvsi  14397  lspun0  14404  mulgrhm2  14589  zndvds  14628  rest0  14868  iscnp4  14907  cnconst2  14922  cnpdis  14931  txdis  14966  txdis1cn  14967  fsumcncntop  15256  dvef  15416  plyf  15426  elplyr  15429  elplyd  15430  ply1term  15432  plyaddlem  15438  plymullem  15439  plycolemc  15447  plycn  15451  dvply2g  15455  perfectlem2  15689  upgr1elem1  15935  bj-omtrans  16374  pwtrufal  16422