Theorem snssd 3839

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3828	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3211  {csn 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695

This theorem is referenced by:  pwntru  4312  ecinxp  6844  xpdom3m  7085  ac6sfi  7155  undifdc  7184  iunfidisj  7213  fidcenumlemr  7225  ssfii  7261  en2other2  7499  pw1m  7534  un0addcl  9529  un0mulcl  9530  fseq1p1m1  10428  hashfibclem  11206  fsumge1  12147  fprodsplit1f  12320  bitsinv1  12648  phicl2  12911  ennnfonelemhf1o  13164  imasaddfnlemg  13527  imasaddflemg  13529  0subm  13697  gsumvallem2  13706  trivsubgd  13917  trivsubgsnd  13918  trivnsgd  13934  kerf1ghm  13991  lsssn0  14518  lss0ss  14519  lsptpcl  14542  lspsnvsi  14566  lspun0  14573  mulgrhm2  14758  zndvds  14797  rest0  15044  iscnp4  15083  cnconst2  15098  cnpdis  15107  txdis  15142  txdis1cn  15143  fsumcncntop  15432  dvef  15592  plyf  15602  elplyr  15605  elplyd  15606  ply1term  15608  plyaddlem  15614  plymullem  15615  plycolemc  15623  plycn  15627  dvply2g  15631  perfectlem2  15868  upgr1elem1  16115  bj-omtrans  16726  pwtrufal  16771  gfsumcl  16870