Theorem snssd 3737

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3726	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129  {csn 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598

This theorem is referenced by:  pwntru  4199  ecinxp  6609  xpdom3m  6833  ac6sfi  6897  undifdc  6922  iunfidisj  6944  fidcenumlemr  6953  ssfii  6972  en2other2  7194  un0addcl  9208  un0mulcl  9209  fseq1p1m1  10093  fsumge1  11468  fprodsplit1f  11641  phicl2  12213  ennnfonelemhf1o  12413  imasaddfnlemg  12734  imasaddflemg  12736  0subm  12870  trivsubgd  13058  trivsubgsnd  13059  trivnsgd  13075  rest0  13649  iscnp4  13688  cnconst2  13703  cnpdis  13712  txdis  13747  txdis1cn  13748  fsumcncntop  14026  dvef  14158  bj-omtrans  14678  pwtrufal  14717