Theorem snssd 3818

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  pwntru  4289  ecinxp  6779  xpdom3m  7018  ac6sfi  7087  undifdc  7116  iunfidisj  7145  fidcenumlemr  7154  ssfii  7173  en2other2  7407  pw1m  7442  un0addcl  9435  un0mulcl  9436  fseq1p1m1  10329  fsumge1  12027  fprodsplit1f  12200  bitsinv1  12528  phicl2  12791  ennnfonelemhf1o  13039  imasaddfnlemg  13402  imasaddflemg  13404  0subm  13572  gsumvallem2  13581  trivsubgd  13792  trivsubgsnd  13793  trivnsgd  13809  kerf1ghm  13866  lsssn0  14390  lss0ss  14391  lsptpcl  14414  lspsnvsi  14438  lspun0  14445  mulgrhm2  14630  zndvds  14669  rest0  14909  iscnp4  14948  cnconst2  14963  cnpdis  14972  txdis  15007  txdis1cn  15008  fsumcncntop  15297  dvef  15457  plyf  15467  elplyr  15470  elplyd  15471  ply1term  15473  plyaddlem  15479  plymullem  15480  plycolemc  15488  plycn  15492  dvply2g  15496  perfectlem2  15730  upgr1elem1  15977  bj-omtrans  16577  pwtrufal  16624  gfsumcl  16714