Theorem snssd 3701

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102  {csn 3560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566

This theorem is referenced by:  pwntru  4160  ecinxp  6555  xpdom3m  6779  ac6sfi  6843  undifdc  6868  iunfidisj  6890  fidcenumlemr  6899  ssfii  6918  en2other2  7131  un0addcl  9123  un0mulcl  9124  fseq1p1m1  9996  fsumge1  11358  fprodsplit1f  11531  phicl2  12088  ennnfonelemhf1o  12142  rest0  12579  iscnp4  12618  cnconst2  12633  cnpdis  12642  txdis  12677  txdis1cn  12678  fsumcncntop  12956  dvef  13088  bj-omtrans  13531  pwtrufal  13569