Theorem snssd 3812

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3801	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  pwntru  4282  ecinxp  6755  xpdom3m  6989  ac6sfi  7056  undifdc  7082  iunfidisj  7109  fidcenumlemr  7118  ssfii  7137  en2other2  7370  pw1m  7405  un0addcl  9398  un0mulcl  9399  fseq1p1m1  10286  fsumge1  11967  fprodsplit1f  12140  bitsinv1  12468  phicl2  12731  ennnfonelemhf1o  12979  imasaddfnlemg  13342  imasaddflemg  13344  0subm  13512  gsumvallem2  13521  trivsubgd  13732  trivsubgsnd  13733  trivnsgd  13749  kerf1ghm  13806  lsssn0  14328  lss0ss  14329  lsptpcl  14352  lspsnvsi  14376  lspun0  14383  mulgrhm2  14568  zndvds  14607  rest0  14847  iscnp4  14886  cnconst2  14901  cnpdis  14910  txdis  14945  txdis1cn  14946  fsumcncntop  15235  dvef  15395  plyf  15405  elplyr  15408  elplyd  15409  ply1term  15411  plyaddlem  15417  plymullem  15418  plycolemc  15426  plycn  15430  dvply2g  15434  perfectlem2  15668  upgr1elem1  15914  bj-omtrans  16277  pwtrufal  16322