Theorem snssd 3718

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3709	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116  {csn 3576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582

This theorem is referenced by:  pwntru  4178  ecinxp  6576  xpdom3m  6800  ac6sfi  6864  undifdc  6889  iunfidisj  6911  fidcenumlemr  6920  ssfii  6939  en2other2  7152  un0addcl  9147  un0mulcl  9148  fseq1p1m1  10029  fsumge1  11402  fprodsplit1f  11575  phicl2  12146  ennnfonelemhf1o  12346  rest0  12829  iscnp4  12868  cnconst2  12883  cnpdis  12892  txdis  12927  txdis1cn  12928  fsumcncntop  13206  dvef  13338  bj-omtrans  13848  pwtrufal  13887