Theorem snssd 3738

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3130  {csn 3593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599

This theorem is referenced by:  pwntru  4200  ecinxp  6610  xpdom3m  6834  ac6sfi  6898  undifdc  6923  iunfidisj  6945  fidcenumlemr  6954  ssfii  6973  en2other2  7195  un0addcl  9209  un0mulcl  9210  fseq1p1m1  10094  fsumge1  11469  fprodsplit1f  11642  phicl2  12214  ennnfonelemhf1o  12414  imasaddfnlemg  12735  imasaddflemg  12737  0subm  12871  trivsubgd  13060  trivsubgsnd  13061  trivnsgd  13077  rest0  13682  iscnp4  13721  cnconst2  13736  cnpdis  13745  txdis  13780  txdis1cn  13781  fsumcncntop  14059  dvef  14191  bj-omtrans  14711  pwtrufal  14750