Theorem snssd 3823

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  pwntru  4295  ecinxp  6822  xpdom3m  7061  ac6sfi  7130  undifdc  7159  iunfidisj  7188  fidcenumlemr  7197  ssfii  7216  en2other2  7450  pw1m  7485  un0addcl  9477  un0mulcl  9478  fseq1p1m1  10374  fsumge1  12085  fprodsplit1f  12258  bitsinv1  12586  phicl2  12849  ennnfonelemhf1o  13097  imasaddfnlemg  13460  imasaddflemg  13462  0subm  13630  gsumvallem2  13639  trivsubgd  13850  trivsubgsnd  13851  trivnsgd  13867  kerf1ghm  13924  lsssn0  14449  lss0ss  14450  lsptpcl  14473  lspsnvsi  14497  lspun0  14504  mulgrhm2  14689  zndvds  14728  rest0  14973  iscnp4  15012  cnconst2  15027  cnpdis  15036  txdis  15071  txdis1cn  15072  fsumcncntop  15361  dvef  15521  plyf  15531  elplyr  15534  elplyd  15535  ply1term  15537  plyaddlem  15543  plymullem  15544  plycolemc  15552  plycn  15556  dvply2g  15560  perfectlem2  15797  upgr1elem1  16044  bj-omtrans  16655  pwtrufal  16702  gfsumcl  16799