Theorem snssd 3818

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  pwntru  4289  ecinxp  6778  xpdom3m  7017  ac6sfi  7086  undifdc  7115  iunfidisj  7144  fidcenumlemr  7153  ssfii  7172  en2other2  7406  pw1m  7441  un0addcl  9434  un0mulcl  9435  fseq1p1m1  10328  fsumge1  12021  fprodsplit1f  12194  bitsinv1  12522  phicl2  12785  ennnfonelemhf1o  13033  imasaddfnlemg  13396  imasaddflemg  13398  0subm  13566  gsumvallem2  13575  trivsubgd  13786  trivsubgsnd  13787  trivnsgd  13803  kerf1ghm  13860  lsssn0  14383  lss0ss  14384  lsptpcl  14407  lspsnvsi  14431  lspun0  14438  mulgrhm2  14623  zndvds  14662  rest0  14902  iscnp4  14941  cnconst2  14956  cnpdis  14965  txdis  15000  txdis1cn  15001  fsumcncntop  15290  dvef  15450  plyf  15460  elplyr  15463  elplyd  15464  ply1term  15466  plyaddlem  15472  plymullem  15473  plycolemc  15481  plycn  15485  dvply2g  15489  perfectlem2  15723  upgr1elem1  15970  bj-omtrans  16551  pwtrufal  16598