Theorem snssd 3767

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3756	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628

This theorem is referenced by:  pwntru  4232  ecinxp  6669  xpdom3m  6893  ac6sfi  6959  undifdc  6985  iunfidisj  7012  fidcenumlemr  7021  ssfii  7040  en2other2  7263  un0addcl  9282  un0mulcl  9283  fseq1p1m1  10169  fsumge1  11626  fprodsplit1f  11799  phicl2  12382  ennnfonelemhf1o  12630  imasaddfnlemg  12957  imasaddflemg  12959  0subm  13116  gsumvallem2  13125  trivsubgd  13330  trivsubgsnd  13331  trivnsgd  13347  kerf1ghm  13404  lsssn0  13926  lss0ss  13927  lsptpcl  13950  lspsnvsi  13974  lspun0  13981  mulgrhm2  14166  zndvds  14205  rest0  14415  iscnp4  14454  cnconst2  14469  cnpdis  14478  txdis  14513  txdis1cn  14514  fsumcncntop  14803  dvef  14963  plyf  14973  elplyr  14976  elplyd  14977  ply1term  14979  plyaddlem  14985  plymullem  14986  plycolemc  14994  plycn  14998  dvply2g  15002  perfectlem2  15236  bj-omtrans  15602  pwtrufal  15642