Theorem snssd 3855

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {csn 3705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711

This theorem is referenced by:  pwntru  4331  ecinxp  6874  xpdom3m  7122  ac6sfi  7192  undifdc  7221  iunfidisj  7250  fidcenumlemr  7262  ssfii  7298  en2other2  7538  pw1m  7573  un0addcl  9575  un0mulcl  9576  fseq1p1m1  10479  hashfibclem  11260  hashf1lem1  11263  hashf1lem2  11264  fsumge1  12206  fprodsplit1f  12379  bitsinv1  12707  phicl2  12970  ennnfonelemhf1o  13282  imasaddfnlemg  13612  imasaddflemg  13614  0subm  13768  gsumvallem2  13777  trivsubgd  13980  trivsubgsnd  13981  trivnsgd  13997  kerf1ghm  14054  gsumclfi  14136  gsummptfidmadd  14138  gsumsubmclfi  14140  lsssn0  14679  lss0ss  14680  lsptpcl  14703  lspsnvsi  14727  lspun0  14734  mulgrhm2  14917  zndvds  14956  rest0  15203  iscnp4  15242  cnconst2  15257  cnpdis  15266  txdis  15301  txdis1cn  15302  fsumcncntop  15591  dvef  15751  plyf  15761  elplyr  15764  elplyd  15765  ply1term  15767  plyaddlem  15773  plymullem  15774  plycolemc  15782  plycn  15786  dvply2g  15790  perfectlem2  16028  upgr1elem1  16275  bj-omtrans  16896  pwtrufal  16941