Theorem snssd 3816

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  {csn 3667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673

This theorem is referenced by:  pwntru  4287  ecinxp  6774  xpdom3m  7013  ac6sfi  7080  undifdc  7109  iunfidisj  7136  fidcenumlemr  7145  ssfii  7164  en2other2  7397  pw1m  7432  un0addcl  9425  un0mulcl  9426  fseq1p1m1  10319  fsumge1  12012  fprodsplit1f  12185  bitsinv1  12513  phicl2  12776  ennnfonelemhf1o  13024  imasaddfnlemg  13387  imasaddflemg  13389  0subm  13557  gsumvallem2  13566  trivsubgd  13777  trivsubgsnd  13778  trivnsgd  13794  kerf1ghm  13851  lsssn0  14374  lss0ss  14375  lsptpcl  14398  lspsnvsi  14422  lspun0  14429  mulgrhm2  14614  zndvds  14653  rest0  14893  iscnp4  14932  cnconst2  14947  cnpdis  14956  txdis  14991  txdis1cn  14992  fsumcncntop  15281  dvef  15441  plyf  15451  elplyr  15454  elplyd  15455  ply1term  15457  plyaddlem  15463  plymullem  15464  plycolemc  15472  plycn  15476  dvply2g  15480  perfectlem2  15714  upgr1elem1  15961  bj-omtrans  16487  pwtrufal  16534