Theorem snssd 3778

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   ⊆ wss 3166  {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  pwntru  4243  ecinxp  6697  xpdom3m  6929  ac6sfi  6995  undifdc  7021  iunfidisj  7048  fidcenumlemr  7057  ssfii  7076  en2other2  7304  un0addcl  9328  un0mulcl  9329  fseq1p1m1  10216  fsumge1  11772  fprodsplit1f  11945  bitsinv1  12273  phicl2  12536  ennnfonelemhf1o  12784  imasaddfnlemg  13146  imasaddflemg  13148  0subm  13316  gsumvallem2  13325  trivsubgd  13536  trivsubgsnd  13537  trivnsgd  13553  kerf1ghm  13610  lsssn0  14132  lss0ss  14133  lsptpcl  14156  lspsnvsi  14180  lspun0  14187  mulgrhm2  14372  zndvds  14411  rest0  14651  iscnp4  14690  cnconst2  14705  cnpdis  14714  txdis  14749  txdis1cn  14750  fsumcncntop  15039  dvef  15199  plyf  15209  elplyr  15212  elplyd  15213  ply1term  15215  plyaddlem  15221  plymullem  15222  plycolemc  15230  plycn  15234  dvply2g  15238  perfectlem2  15472  bj-omtrans  15892  pwtrufal  15934