Theorem snssd 3784

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (deduction form). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
snssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
snssd	⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		snssg 3773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3170  {csn 3638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644

This theorem is referenced by:  pwntru  4254  ecinxp  6715  xpdom3m  6949  ac6sfi  7016  undifdc  7042  iunfidisj  7069  fidcenumlemr  7078  ssfii  7097  en2other2  7330  pw1m  7365  un0addcl  9358  un0mulcl  9359  fseq1p1m1  10246  fsumge1  11857  fprodsplit1f  12030  bitsinv1  12358  phicl2  12621  ennnfonelemhf1o  12869  imasaddfnlemg  13231  imasaddflemg  13233  0subm  13401  gsumvallem2  13410  trivsubgd  13621  trivsubgsnd  13622  trivnsgd  13638  kerf1ghm  13695  lsssn0  14217  lss0ss  14218  lsptpcl  14241  lspsnvsi  14265  lspun0  14272  mulgrhm2  14457  zndvds  14496  rest0  14736  iscnp4  14775  cnconst2  14790  cnpdis  14799  txdis  14834  txdis1cn  14835  fsumcncntop  15124  dvef  15284  plyf  15294  elplyr  15297  elplyd  15298  ply1term  15300  plyaddlem  15306  plymullem  15307  plycolemc  15315  plycn  15319  dvply2g  15323  perfectlem2  15557  upgr1elem1  15798  bj-omtrans  16061  pwtrufal  16106