Theorem eqssd 3164

Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
eqssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqssd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem eqssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		eqssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		eqss 3162	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ⊆ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by:  eqrd  3165  eqelssd  3166  unissel  3823  intmin  3849  int0el  3859  pwntru  4183  exmidundif  4190  exmidundifim  4191  dmcosseq  4880  relfld  5137  imadif  5276  imain  5278  fimacnv  5622  fo2ndf  6203  tposeq  6223  tfrlemibfn  6304  tfrlemi14d  6309  tfr1onlembfn  6320  tfri1dALT  6327  tfrcllembfn  6333  dcdifsnid  6480  fisbth  6857  en2eqpr  6881  exmidpw  6882  exmidpweq  6883  undifdcss  6896  nnnninfeq2  7101  en2other2  7160  exmidontriimlem3  7187  addnqpr  7510  mulnqpr  7526  distrprg  7537  ltexpri  7562  addcanprg  7565  recexprlemex  7586  aptipr  7590  cauappcvgprlemladd  7607  fzopth  10004  fzosplit  10120  fzouzsplit  10122  frecuzrdgtcl  10355  frecuzrdgdomlem  10360  zsupssdc  11896  phimullem  12166  structcnvcnv  12419  eltg4i  12808  unitg  12815  tgtop  12821  tgidm  12827  basgen  12833  2basgeng  12835  epttop  12843  ntrin  12877  isopn3  12878  neiuni  12914  tgrest  12922  resttopon  12924  rest0  12932  txdis  13030  hmeontr  13066  xmettx  13263  findset  13940  pwtrufal  13990  pwf1oexmid  13992