Theorem eqssd 3265

Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
eqssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqssd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem eqssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		eqssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		eqss 3263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqrd  3266  eqelssd  3267  unissel  3964  intmin  3990  int0el  4000  pwntru  4336  exmidundif  4343  exmidundifim  4344  dmcosseq  5054  relfld  5316  imadif  5461  imain  5463  fimacnv  5837  fo2ndf  6463  tposeq  6518  tfrlemibfn  6599  tfrlemi14d  6604  tfr1onlembfn  6615  tfri1dALT  6622  tfrcllembfn  6628  dcdifsnid  6777  fisbth  7187  en2eqpr  7214  exmidpw  7215  exmidpweq  7216  undifdcss  7230  nnnninfeq2  7470  en2other2  7549  exmidontriimlem3  7580  pw1m  7584  addnqpr  7929  mulnqpr  7945  distrprg  7956  ltexpri  7981  addcanprg  7984  recexprlemex  8005  aptipr  8009  cauappcvgprlemladd  8026  fzopth  10478  fzosplit  10597  fzouzsplit  10599  zsupssdc  10684  frecuzrdgtcl  10864  frecuzrdgdomlem  10869  ccatrn  11393  phimullem  13026  structcnvcnv  13420  imasaddfnlemg  13688  gsumvallem2  13853  trivsubgd  14056  trivsubgsnd  14057  trivnsgd  14073  kerf1ghm  14130  conjnmz  14135  lspun  14823  lspsn  14837  lspsnneg  14841  lsp0  14844  lsslsp  14850  mulgrhm2  15029  znrrg  15079  eltg4i  15247  unitg  15254  tgtop  15260  tgidm  15266  basgen  15272  2basgeng  15274  epttop  15282  ntrin  15316  isopn3  15317  neiuni  15353  tgrest  15361  resttopon  15363  rest0  15371  txdis  15469  hmeontr  15505  xmettx  15702  ppiqsval  16201  ppinprm  16221  chtnprm  16223  findset  17137  pwtrufal  17193  pwf1oexmid  17195