Theorem eqssd 3242

Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
eqssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqssd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem eqssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		eqssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		eqss 3240	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  eqrd  3243  eqelssd  3244  unissel  3918  intmin  3944  int0el  3954  pwntru  4285  exmidundif  4292  exmidundifim  4293  dmcosseq  5000  relfld  5261  imadif  5405  imain  5407  fimacnv  5770  fo2ndf  6385  tposeq  6406  tfrlemibfn  6487  tfrlemi14d  6492  tfr1onlembfn  6503  tfri1dALT  6510  tfrcllembfn  6516  dcdifsnid  6665  fisbth  7063  en2eqpr  7090  exmidpw  7091  exmidpweq  7092  undifdcss  7106  nnnninfeq2  7317  en2other2  7395  exmidontriimlem3  7426  pw1m  7430  addnqpr  7769  mulnqpr  7785  distrprg  7796  ltexpri  7821  addcanprg  7824  recexprlemex  7845  aptipr  7849  cauappcvgprlemladd  7866  fzopth  10284  fzosplit  10402  fzouzsplit  10404  zsupssdc  10486  frecuzrdgtcl  10662  frecuzrdgdomlem  10667  ccatrn  11173  phimullem  12784  structcnvcnv  13085  imasaddfnlemg  13384  gsumvallem2  13563  trivsubgd  13774  trivsubgsnd  13775  trivnsgd  13791  kerf1ghm  13848  conjnmz  13853  lspun  14403  lspsn  14417  lspsnneg  14421  lsp0  14424  lsslsp  14430  mulgrhm2  14611  znrrg  14661  eltg4i  14766  unitg  14773  tgtop  14779  tgidm  14785  basgen  14791  2basgeng  14793  epttop  14801  ntrin  14835  isopn3  14836  neiuni  14872  tgrest  14880  resttopon  14882  rest0  14890  txdis  14988  hmeontr  15024  xmettx  15221  findset  16450  pwtrufal  16508  pwf1oexmid  16510