Theorem elsni 3641

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3638	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  elsn2g  3656  nelsn  3658  disjsn2  3686  sssnm  3785  disjxsn  4032  pwntru  4233  opth1  4270  elsuci  4439  ordtri2orexmid  4560  onsucsssucexmid  4564  sosng  4737  elrelimasn  5036  ressn  5211  funcnvsn  5304  funinsn  5308  fvconst  5753  fmptap  5755  fmptapd  5756  fvunsng  5759  mposnif  6020  1stconst  6288  2ndconst  6289  reldmtpos  6320  tpostpos  6331  1domsn  6887  ac6sfi  6968  onunsnss  6987  snon0  7010  snexxph  7025  elfi2  7047  supsnti  7080  djuf1olem  7128  eldju2ndl  7147  eldju2ndr  7148  difinfsnlem  7174  pw1on  7311  elreal2  7916  ax1rid  7963  ltxrlt  8111  un0addcl  9301  un0mulcl  9302  elfzonlteqm1  10305  xnn0nnen  10548  fxnn0nninf  10550  seqf1og  10632  1exp  10679  hashinfuni  10888  hashennnuni  10890  hashprg  10919  zfz1isolemiso  10950  fisumss  11576  sumsnf  11593  fsumsplitsn  11594  fsum2dlemstep  11618  fisumcom2  11622  fprodssdc  11774  fprodunsn  11788  fprod2dlemstep  11806  fprodcom2fi  11810  fprodsplitsn  11817  divalgmod  12111  phi1  12414  dfphi2  12415  nnnn0modprm0  12451  exmidunben  12670  gsumress  13099  0nsg  13422  gsumfzsnfd  13553  lsssn0  14004  lspsneq0  14060  txdis1cn  14622  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plycoeid3  15101  plycj  15105  bj-nntrans  15705  bj-nnelirr  15707  pwtrufal  15752  sssneq  15757  exmidsbthrlem  15779