Theorem elsni 3650

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3647	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  {csn 3632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-sn 3638

This theorem is referenced by:  elsn2g  3665  nelsn  3667  disjsn2  3695  sssnm  3794  disjxsn  4041  pwntru  4242  opth1  4279  elsuci  4449  ordtri2orexmid  4570  onsucsssucexmid  4574  sosng  4747  elrelimasn  5047  ressn  5222  funcnvsn  5318  funinsn  5322  funopdmsn  5763  fvconst  5771  fmptap  5773  fmptapd  5774  fvunsng  5777  mposnif  6038  1stconst  6306  2ndconst  6307  reldmtpos  6338  tpostpos  6349  1domsn  6913  ac6sfi  6994  onunsnss  7013  snon0  7036  snexxph  7051  elfi2  7073  supsnti  7106  djuf1olem  7154  eldju2ndl  7173  eldju2ndr  7174  difinfsnlem  7200  pw1on  7337  elreal2  7942  ax1rid  7989  ltxrlt  8137  un0addcl  9327  un0mulcl  9328  elfzonlteqm1  10337  xnn0nnen  10580  fxnn0nninf  10582  seqf1og  10664  1exp  10711  hashinfuni  10920  hashennnuni  10922  hashprg  10951  zfz1isolemiso  10982  fisumss  11674  sumsnf  11691  fsumsplitsn  11692  fsum2dlemstep  11716  fisumcom2  11720  fprodssdc  11872  fprodunsn  11886  fprod2dlemstep  11904  fprodcom2fi  11908  fprodsplitsn  11915  divalgmod  12209  phi1  12512  dfphi2  12513  nnnn0modprm0  12549  exmidunben  12768  gsumress  13198  0nsg  13521  gsumfzsnfd  13652  lsssn0  14103  lspsneq0  14159  txdis1cn  14721  plyaddlem1  15190  plymullem1  15191  plycoeid3  15200  plycj  15204  bj-nntrans  15849  bj-nnelirr  15851  pwtrufal  15896  sssneq  15901  exmidsbthrlem  15923