Theorem elsni 3540

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3537	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
2	1	ibi 175	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  elsn2g  3553  disjsn2  3581  sssnm  3676  disjxsn  3922  pwntru  4117  opth1  4153  elsuci  4320  ordtri2orexmid  4433  onsucsssucexmid  4437  sosng  4607  ressn  5074  funcnvsn  5163  funinsn  5167  fvconst  5601  fmptap  5603  fmptapd  5604  fvunsng  5607  mposnif  5858  1stconst  6111  2ndconst  6112  reldmtpos  6143  tpostpos  6154  1domsn  6706  ac6sfi  6785  onunsnss  6798  snon0  6817  snexxph  6831  elfi2  6853  supsnti  6885  djuf1olem  6931  eldju2ndl  6950  eldju2ndr  6951  difinfsnlem  6977  elreal2  7631  ax1rid  7678  ltxrlt  7823  un0addcl  9003  un0mulcl  9004  elfzonlteqm1  9980  fxnn0nninf  10204  1exp  10315  hashinfuni  10516  hashennnuni  10518  hashprg  10547  zfz1isolemiso  10575  fisumss  11154  sumsnf  11171  fsumsplitsn  11172  fsum2dlemstep  11196  fisumcom2  11200  divalgmod  11613  phi1  11884  dfphi2  11885  exmidunben  11928  txdis1cn  12436  bj-nntrans  13138  bj-nnelirr  13140  pwtrufal  13181  exmidsbthrlem  13206