Theorem elsni 3727

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3724	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-sn 3715

This theorem is used by:  elsn2g  3742  nelsn  3744  disjsn2  3772  rabsnifsb  3777  rabsnif  3778  sssnm  3879  disjxsn  4129  pwntru  4338  opth1  4378  elsuci  4550  ordtri2orexmid  4672  onsucsssucexmid  4676  sosng  4850  elrelimasn  5156  ressn  5331  funcnvsn  5429  funinsn  5433  funopdmsn  5898  fvconst  5906  fmptap  5908  fmptapd  5909  fvunsng  5912  mposnif  6185  1stconst  6461  2ndconst  6462  reldmtpos  6528  tpostpos  6539  1domsn  7119  ac6sfi  7206  elssdc  7213  onunsnss  7228  snon0  7253  snexxph  7272  elfi2  7311  supsnti  7351  djuf1olem  7399  eldju2ndl  7418  eldju2ndr  7419  difinfsnlem  7445  pw1m  7589  pw1on  7591  elreal2  8203  ax1rid  8250  ltxrlt  8397  un0addcl  9607  un0mulcl  9608  fzodisjsn  10608  elfzonlteqm1  10645  xnn0nnen  10895  fxnn0nninf  10897  seqf1og  10979  1exp  11026  hashinfuni  11238  hashennnuni  11240  hashprg  11271  zfz1isolemiso  11313  cats1un  11515  fisumss  12184  sumsnf  12201  fsumsplitsn  12202  fsum2dlemstep  12226  fisumcom2  12230  fprodssdc  12382  fprodunsn  12396  fprod2dlemstep  12414  fprodcom2fi  12418  fprodsplitsn  12425  divalgmod  12719  phi1  13026  dfphi2  13027  nnnn0modprm0  13063  exmidunben  13375  bassetsnn  13467  gzsumress  13771  0nsg  14076  gzsumsnfd  14237  gsumsncmn  14246  gsummptfidmsplit  14254  gsumsnfdcmn  14257  gsumunsnfd  14259  gsum2dfilem2  14272  lsssn0  14816  lspsneq0  14872  gsumfsum  15032  txdis1cn  15504  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plycoeid3  15983  plycj  15987  pw0ss  16529  usgr1vr  16694  bj-nntrans  17182  bj-nnelirr  17184  pwtrufal  17232  sssneq  17237  wexmiddifxylem  17250  idjudju  17252  exmidsbthrlem  17273