ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elsni GIF version

Theorem elsni 3545
Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)
Assertion
Ref Expression
elsni (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni
StepHypRef Expression
1 elsng 3542 . 2 (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
21ibi 175 1 (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  {csn 3527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-sn 3533
This theorem is referenced by:  elsn2g  3560  disjsn2  3589  sssnm  3684  disjxsn  3930  pwntru  4125  opth1  4161  elsuci  4328  ordtri2orexmid  4441  onsucsssucexmid  4445  sosng  4615  ressn  5082  funcnvsn  5171  funinsn  5175  fvconst  5611  fmptap  5613  fmptapd  5614  fvunsng  5617  mposnif  5868  1stconst  6121  2ndconst  6122  reldmtpos  6153  tpostpos  6164  1domsn  6716  ac6sfi  6795  onunsnss  6808  snon0  6827  snexxph  6841  elfi2  6863  supsnti  6895  djuf1olem  6941  eldju2ndl  6960  eldju2ndr  6961  difinfsnlem  6987  elreal2  7657  ax1rid  7704  ltxrlt  7849  un0addcl  9029  un0mulcl  9030  elfzonlteqm1  10011  fxnn0nninf  10235  1exp  10346  hashinfuni  10547  hashennnuni  10549  hashprg  10578  zfz1isolemiso  10606  fisumss  11185  sumsnf  11202  fsumsplitsn  11203  fsum2dlemstep  11227  fisumcom2  11231  divalgmod  11647  phi1  11918  dfphi2  11919  exmidunben  11962  txdis1cn  12473  bj-nntrans  13293  bj-nnelirr  13295  pwtrufal  13338  sssneq  13343  exmidsbthrlem  13365
  Copyright terms: Public domain W3C validator