Theorem elsni 3641

Description: There is only one element in a singleton. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsni	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsng 3638	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  elsn2g  3656  nelsn  3658  disjsn2  3686  sssnm  3785  disjxsn  4032  pwntru  4233  opth1  4270  elsuci  4439  ordtri2orexmid  4560  onsucsssucexmid  4564  sosng  4737  elrelimasn  5036  ressn  5211  funcnvsn  5304  funinsn  5308  fvconst  5751  fmptap  5753  fmptapd  5754  fvunsng  5757  mposnif  6017  1stconst  6280  2ndconst  6281  reldmtpos  6312  tpostpos  6323  1domsn  6879  ac6sfi  6960  onunsnss  6979  snon0  7002  snexxph  7017  elfi2  7039  supsnti  7072  djuf1olem  7120  eldju2ndl  7139  eldju2ndr  7140  difinfsnlem  7166  pw1on  7295  elreal2  7899  ax1rid  7946  ltxrlt  8094  un0addcl  9284  un0mulcl  9285  elfzonlteqm1  10288  xnn0nnen  10531  fxnn0nninf  10533  seqf1og  10615  1exp  10662  hashinfuni  10871  hashennnuni  10873  hashprg  10902  zfz1isolemiso  10933  fisumss  11559  sumsnf  11576  fsumsplitsn  11577  fsum2dlemstep  11601  fisumcom2  11605  fprodssdc  11757  fprodunsn  11771  fprod2dlemstep  11789  fprodcom2fi  11793  fprodsplitsn  11800  divalgmod  12094  phi1  12397  dfphi2  12398  nnnn0modprm0  12434  exmidunben  12653  gsumress  13048  0nsg  13354  gsumfzsnfd  13485  lsssn0  13936  lspsneq0  13992  txdis1cn  14524  plyaddlem1  14993  plymullem1  14994  plycoeid3  15003  plycj  15007  bj-nntrans  15607  bj-nnelirr  15609  pwtrufal  15652  sssneq  15656  exmidsbthrlem  15676