Theorem ssriv 3106

Description: Inference based on subclass definition. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssriv.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssriv	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3091	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		ssriv.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpgbir 1430	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  ssid  3122  ssv  3124  difss  3207  ssun1  3244  inss1  3301  unssdif  3316  inssdif  3317  unssin  3320  inssun  3321  difindiss  3335  undif3ss  3342  0ss  3406  difprsnss  3666  snsspw  3699  pwprss  3740  pwtpss  3741  uniin  3764  iuniin  3831  iundif2ss  3886  iunpwss  3912  pwuni  4124  pwunss  4213  omsson  4534  limom  4535  xpsspw  4659  dmin  4755  dmrnssfld  4810  dmcoss  4816  dminss  4961  imainss  4962  dmxpss  4977  rnxpid  4981  mapsspm  6584  pmsspw  6585  uniixp  6623  snexxph  6846  djuss  6963  enq0enq  7263  nqnq0pi  7270  nqnq0  7273  apsscn  8433  sup3exmid  8739  zssre  9085  zsscn  9086  nnssz  9095  uzssz  9369  divfnzn  9440  zssq  9446  qssre  9449  rpssre  9481  ixxssxr  9713  ixxssixx  9715  iooval2  9728  ioossre  9748  rge0ssre  9790  fz1ssnn  9867  fzssuz  9876  fzssp1  9878  uzdisj  9904  fz0ssnn0  9927  nn0disj  9946  fzossfz  9973  fzouzsplit  9987  fzossnn  9997  fzo0ssnn0  10023  seq3coll  10617  fclim  11095  infssuzcldc  11680  prmssnn  11829  restsspw  12169  unitg  12270  cldss2  12314  blssioo  12753  tgioo  12754  limccl  12836  limcresi  12843  dvef  12896  reeff1o  12902  bj-omsson  13331