Theorem ssriv 3029

Description: Inference based on subclass definition. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssriv.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssriv	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3014	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		ssriv.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpgbir 1387	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438   ⊆ wss 2999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-11 1442  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-in 3005  df-ss 3012

This theorem is referenced by:  ssid  3044  ssv  3046  difss  3126  ssun1  3163  inss1  3220  unssdif  3234  inssdif  3235  unssin  3238  inssun  3239  difindiss  3253  undif3ss  3260  0ss  3321  difprsnss  3575  snsspw  3608  pwprss  3649  pwtpss  3650  uniin  3673  iuniin  3740  iundif2ss  3795  iunpwss  3820  pwuni  4027  pwunss  4110  omsson  4427  limom  4428  xpsspw  4550  dmin  4644  dmrnssfld  4696  dmcoss  4702  dminss  4846  imainss  4847  dmxpss  4861  rnxpid  4865  mapsspm  6437  pmsspw  6438  snexxph  6657  djuun  6758  djuss  6759  enq0enq  6988  nqnq0pi  6995  nqnq0  6998  zssre  8755  zsscn  8756  nnssz  8765  uzssz  9036  divfnzn  9104  zssq  9110  qssre  9113  rpssre  9142  ixxssxr  9316  ixxssixx  9318  iooval2  9331  ioossre  9351  rge0ssre  9393  fzssuz  9476  fzssp1  9478  uzdisj  9503  fz0ssnn0  9526  nn0disj  9545  fzossfz  9572  fzouzsplit  9586  fzossnn  9596  fzo0ssnn0  9622  iseqcoll  10243  fclim  10678  infssuzcldc  11221  prmssnn  11368  bj-omsson  11812