Theorem ssriv 3146

Description: Inference based on subclass definition. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssriv.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssriv	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3131	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		ssriv.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpgbir 1441	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  ssid  3162  ssv  3164  difss  3248  ssun1  3285  inss1  3342  unssdif  3357  inssdif  3358  unssin  3361  inssun  3362  difindiss  3376  undif3ss  3383  0ss  3447  difprsnss  3711  snsspw  3744  pwprss  3785  pwtpss  3786  uniin  3809  iuniin  3876  iundif2ss  3931  iunpwss  3957  pwuni  4171  pwunss  4261  omsson  4590  limom  4591  xpsspw  4716  dmin  4812  dmrnssfld  4867  dmcoss  4873  dminss  5018  imainss  5019  dmxpss  5034  rnxpid  5038  mapsspm  6648  pmsspw  6649  uniixp  6687  snexxph  6915  djuss  7035  pw1on  7182  enq0enq  7372  nqnq0pi  7379  nqnq0  7382  apsscn  8545  sup3exmid  8852  zssre  9198  zsscn  9199  nnssz  9208  uzssz  9485  divfnzn  9559  zssq  9565  qssre  9568  rpssre  9600  ixxssxr  9836  ixxssixx  9838  iooval2  9851  ioossre  9871  rge0ssre  9913  fz1ssnn  9991  fzssuz  10000  fzssp1  10002  uzdisj  10028  fz0ssnn0  10051  nn0disj  10073  fzossfz  10100  fzouzsplit  10114  fzossnn  10124  fzo0ssnn0  10150  seq3coll  10755  fclim  11235  infssuzcldc  11884  prmssnn  12044  restsspw  12566  unitg  12702  cldss2  12746  blssioo  13185  tgioo  13186  limccl  13268  limcresi  13275  dvef  13328  reeff1o  13334  bj-omsson  13844