Theorem ssriv 3246

Description: Inference based on subclass definition. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssriv.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssriv	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		ssriv.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpgbir 1502	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  ssid  3262  ssv  3264  difss  3349  ssun1  3386  inss1  3445  unssdif  3460  inssdif  3461  unssin  3464  inssun  3465  difindiss  3479  undif3ss  3486  0ss  3551  difprsnss  3837  snsspw  3873  pwprss  3915  pwtpss  3916  uniin  3939  iuniin  4006  iundif2ss  4062  iunpwss  4088  pwuni  4310  pwunss  4409  omsson  4740  limom  4741  xpsspw  4867  dmin  4969  dmrnssfld  5025  dmcoss  5032  dminss  5182  imainss  5183  dmxpss  5198  rnxpid  5202  relmptopab  6264  mapsspm  6929  pmsspw  6930  uniixp  6969  snexxph  7233  djuss  7374  pw1on  7549  enq0enq  7762  nqnq0pi  7769  nqnq0  7772  apsscn  8939  aptap  8942  sup3exmid  9251  zssre  9604  zsscn  9605  nnssz  9614  uzssz  9895  divfnzn  9974  zssq  9980  qssre  9983  rpssre  10018  ixxssxr  10255  ixxssixx  10257  iooval2  10270  ioossre  10290  rge0ssre  10332  fzssz  10383  fz1ssnn  10414  fzssuz  10423  fzssp1  10425  uzdisj  10452  fz0ssnn0  10475  nn0disj  10497  fzossfz  10525  fzouzsplit  10540  fzossnn  10554  fzo0ssnn0  10585  infssuzcldc  10620  hashfibc  11235  seq3coll  11242  wrdexb  11264  fclim  12007  bitsss  12659  prmssnn  12837  4sqlem19  13135  restsspw  13549  prdsgrpd  14142  prdsinvgd  14143  ringssrng  14283  subrngintm  14461  subrgintm  14492  cnsubmlem  14855  cnsubglem  14856  znf1o  14928  mplbasss  14980  unitg  15056  cldss2  15100  blssioo  15547  tgioo  15548  limccl  15653  limcresi  15660  dvef  15721  plyssc  15733  reeff1o  15767  griedg0ssusgr  16375  trlsfvalg  16507  clwwlksswrd  16521  clwwlksclwwlkn  16534  bj-omsson  16871