Theorem ssriv 3231

Description: Inference based on subclass definition. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssriv.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssriv	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		ssriv.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpgbir 1501	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  ssid  3247  ssv  3249  difss  3333  ssun1  3370  inss1  3427  unssdif  3442  inssdif  3443  unssin  3446  inssun  3447  difindiss  3461  undif3ss  3468  0ss  3533  difprsnss  3811  snsspw  3847  pwprss  3889  pwtpss  3890  uniin  3913  iuniin  3980  iundif2ss  4036  iunpwss  4062  pwuni  4282  pwunss  4380  omsson  4711  limom  4712  xpsspw  4838  dmin  4939  dmrnssfld  4995  dmcoss  5002  dminss  5151  imainss  5152  dmxpss  5167  rnxpid  5171  relmptopab  6224  mapsspm  6851  pmsspw  6852  uniixp  6890  snexxph  7149  djuss  7269  pw1on  7444  enq0enq  7651  nqnq0pi  7658  nqnq0  7661  apsscn  8827  aptap  8830  sup3exmid  9137  zssre  9486  zsscn  9487  nnssz  9496  uzssz  9776  divfnzn  9855  zssq  9861  qssre  9864  rpssre  9899  ixxssxr  10135  ixxssixx  10137  iooval2  10150  ioossre  10170  rge0ssre  10212  fz1ssnn  10291  fzssuz  10300  fzssp1  10302  uzdisj  10328  fz0ssnn0  10351  nn0disj  10373  fzossfz  10401  fzouzsplit  10416  fzossnn  10430  fzo0ssnn0  10461  infssuzcldc  10496  seq3coll  11107  wrdexb  11126  fclim  11856  bitsss  12508  prmssnn  12686  4sqlem19  12984  restsspw  13334  prdsgrpd  13694  prdsinvgd  13695  ringssrng  14053  subrngintm  14229  subrgintm  14260  cnsubmlem  14595  cnsubglem  14596  znf1o  14668  mplbasss  14713  unitg  14789  cldss2  14833  blssioo  15280  tgioo  15281  limccl  15386  limcresi  15393  dvef  15454  plyssc  15466  reeff1o  15500  griedg0ssusgr  16105  trlsfvalg  16237  clwwlksswrd  16251  clwwlksclwwlkn  16264  bj-omsson  16578