Theorem raleqi 2734

Description: Equality inference for restricted universal qualifier. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
raleqi	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		raleq 2730	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∀wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515

This theorem is referenced by:  ralrab2  2971  ralprg  3720  raltpg  3722  omsinds  4720  ralxp  4873  ralrnmpo  6136  nnnninfeq2  7328  fzprval  10317  fztpval  10318  infssuzex  10494  seq3f1olemp  10778  zsumdc  11963  zproddc  12158  2prm  12717  xpsfrnel  13445  nninfsellemdc  16663  nninfsellemsuc  16665