Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumpr GIF version

Theorem sumpr 11189
 Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sumpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
sumpr.3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
sumpr.4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
sumpr.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumpr (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 3586 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 3534 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 9 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 sumpr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
76simpld 111 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
86simprd 113 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
9 prfidisj 6815 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
107, 8, 1, 9syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11 sumpr.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
12 sumpr.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
1312eleq1d 2208 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
14 sumpr.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
1514eleq1d 2208 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
1613, 15ralprg 3574 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
176, 16syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
1811, 17mpbird 166 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ)
1918r19.21bi 2520 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
203, 5, 10, 19fsumsplit 11183 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
2111simpld 111 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2212sumsn 11187 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
237, 21, 22syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
2411simprd 113 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2514sumsn 11187 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
268, 24, 25syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2723, 26oveq12d 5792 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
2820, 27eqtrd 2172 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416   ∪ cun 3069   ∩ cin 3070  ∅c0 3363  {csn 3527  {cpr 3528  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  ℂcc 7625   + caddc 7630  Σcsu 11129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130 This theorem is referenced by:  sumtp  11190
 Copyright terms: Public domain W3C validator