Theorem sumpr 11945

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sumpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
sumpr.3	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
sumpr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
sumpr.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumpr	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 3729	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 3673	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		sumpr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
7	6	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	6	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		prfidisj 7105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
10	7, 8, 1, 9	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		sumpr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
12		sumpr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
13	12	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
14		sumpr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
15	14	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
16	13, 15	ralprg 3717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
17	6, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ)
19	18	r19.21bi 2618	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	3, 5, 10, 19	fsumsplit 11939	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
21	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	12	sumsn 11943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
23	7, 21, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
25	14	sumsn 11943	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
26	8, 24, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	23, 26	oveq12d 6028	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	20, 27	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  {csn 3666  {cpr 3667  (class class class)co 6010  Fincfn 6900  ℂcc 8013   + caddc 8018  Σcsu 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886

This theorem is referenced by:  sumtp  11946