Theorem nninfwlpoimlemginf 7251

Description: Lemma for nninfwlpoim 7253. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemginf	⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfwlpoimlemg.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
2		suceq 4438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → suc 𝑖 = suc 𝑛)
3	2	rexeqdv 2700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅))
4	3	ifbid 3583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
6		0lt2o 6508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
8		1lt2o 6509	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
10		peano2 4632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ ω)
12		nnfi 6942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ Fin)
14		2ssom 6591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ ω
15		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝐹:ω⟶2o)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ suc 𝑛)
18	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → suc 𝑛 ∈ ω)
19		elnn 4643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑛 ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ω)
21	16, 20	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
22	14, 21	sselid 3182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
23		peano1 4631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ ω
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → ∅ ∈ ω)
25		nndceq 6566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
27	26	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
28		finexdc 6972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
29	13, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	7, 9, 29	ifcldcd 3598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
31	1, 4, 5, 30	fvmptd3 5658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
33		vex 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
34	33	sucid 4453	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ suc 𝑛
35	34	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
36		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐹‘𝑛) = ∅)
37		fveqeq2 5570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑛) = ∅))
38	37	rspcev 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
39	35, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
40	39	iftrued 3569	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
41	32, 40	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ∅)
42		1n0 6499	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
43	42	neii 2369	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o = ∅
44		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
45	44	fveq1d 5563	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛))
46		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)
47		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 1o = 1o)
48	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ ω)
49	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 1o ∈ 2o)
50	46, 47, 48, 49	fvmptd3 5658	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛) = 1o)
51	45, 50	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = 1o)
52	51	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝐺‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
53	43, 52	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ¬ (𝐺‘𝑛) = ∅)
54	41, 53	pm2.65da 662	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
55	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → 𝐹:ω⟶2o)
56	55	ffvelcdmda 5700	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) ∈ 2o)
57		elpri 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ {∅, 1o} → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
58		df2o3 6497	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
59	57, 58	eleq2s 2291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ 2o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
60	56, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
61	60	orcomd 730	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = 1o ∨ (𝐹‘𝑛) = ∅))
62	54, 61	ecased 1360	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) = 1o)
63	62	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)
64		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
65	43, 64	mtbiri 676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
66	65	ralimi 2560	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
67		ralnex 2485	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
68	66, 67	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
69		fveqeq2 5570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑥) = ∅))
70	69	cbvrexv 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
71	68, 70	sylnib 677	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
72	71	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
73		peano2 4632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
74	73	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
75		elomssom 4642	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ⊆ ω)
76		ssrexv 3249	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ⊆ ω → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
77	74, 75, 76	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
78	72, 77	mtod 664	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
79	78	iffalsed 3572	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
80	79	mpteq2dva 4124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
81	1, 80	eqtrid 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
82	63, 81	impbida 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  ifcif 3562  {cpr 3624   ↦ cmpt 4095  suc csuc 4401  ωcom 4627  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477  Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7252