Theorem nninfwlpoimlemginf 7278

Description: Lemma for nninfwlpoim 7281. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemginf	⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfwlpoimlemg.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
2		suceq 4449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → suc 𝑖 = suc 𝑛)
3	2	rexeqdv 2709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅))
4	3	ifbid 3592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
6		0lt2o 6527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
8		1lt2o 6528	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
10		peano2 4643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ ω)
12		nnfi 6969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ Fin)
14		2ssom 6610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ ω
15		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝐹:ω⟶2o)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ suc 𝑛)
18	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → suc 𝑛 ∈ ω)
19		elnn 4654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑛 ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ω)
21	16, 20	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
22	14, 21	sselid 3191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
23		peano1 4642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ ω
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → ∅ ∈ ω)
25		nndceq 6585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
27	26	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
28		finexdc 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
29	13, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	7, 9, 29	ifcldcd 3608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
31	1, 4, 5, 30	fvmptd3 5673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
33		vex 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
34	33	sucid 4464	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ suc 𝑛
35	34	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
36		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐹‘𝑛) = ∅)
37		fveqeq2 5585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑛) = ∅))
38	37	rspcev 2877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
39	35, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
40	39	iftrued 3578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
41	32, 40	eqtrd 2238	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ∅)
42		1n0 6518	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
43	42	neii 2378	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o = ∅
44		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
45	44	fveq1d 5578	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛))
46		eqid 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)
47		eqidd 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 1o = 1o)
48	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ ω)
49	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 1o ∈ 2o)
50	46, 47, 48, 49	fvmptd3 5673	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛) = 1o)
51	45, 50	eqtrd 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = 1o)
52	51	eqeq1d 2214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝐺‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
53	43, 52	mtbiri 677	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ¬ (𝐺‘𝑛) = ∅)
54	41, 53	pm2.65da 663	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
55	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → 𝐹:ω⟶2o)
56	55	ffvelcdmda 5715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) ∈ 2o)
57		elpri 3656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ {∅, 1o} → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
58		df2o3 6516	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
59	57, 58	eleq2s 2300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ 2o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
60	56, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
61	60	orcomd 731	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = 1o ∨ (𝐹‘𝑛) = ∅))
62	54, 61	ecased 1362	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) = 1o)
63	62	ralrimiva 2579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)
64		eqeq1 2212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
65	43, 64	mtbiri 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
66	65	ralimi 2569	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
67		ralnex 2494	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
68	66, 67	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
69		fveqeq2 5585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑥) = ∅))
70	69	cbvrexv 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
71	68, 70	sylnib 678	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
72	71	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
73		peano2 4643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
74	73	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
75		elomssom 4653	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ⊆ ω)
76		ssrexv 3258	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ⊆ ω → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
77	74, 75, 76	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
78	72, 77	mtod 665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
79	78	iffalsed 3581	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
80	79	mpteq2dva 4134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
81	1, 80	eqtrid 2250	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
82	63, 81	impbida 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ⊆ wss 3166  ∅c0 3460  ifcif 3571  {cpr 3634   ↦ cmpt 4105  suc csuc 4412  ωcom 4638  ⟶wf 5267  ‘cfv 5271  1_oc1o 6495  2_oc2o 6496  Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-2o 6503  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7279  nninfinfwlpolem  7280