Theorem nninfwlpoimlemginf 7480

Description: Lemma for nninfwlpoim 7483. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemginf	⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfwlpoimlemg.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
2		suceq 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → suc 𝑖 = suc 𝑛)
3	2	rexeqdv 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅))
4	3	ifbid 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
6		0lt2o 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
8		1lt2o 6688	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
10		peano2 4722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ ω)
12		nnfi 7140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ Fin)
14		2ssom 6770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ ω
15		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝐹:ω⟶2o)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ suc 𝑛)
18	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → suc 𝑛 ∈ ω)
19		elnn 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑛 ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ω)
21	16, 20	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
22	14, 21	sselid 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
23		peano1 4721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ ω
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → ∅ ∈ ω)
25		nndceq 6745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
27	26	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
28		finexdc 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
29	13, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	7, 9, 29	ifcldcd 3664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
31	1, 4, 5, 30	fvmptd3 5776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
33		vex 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
34	33	sucid 4543	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ suc 𝑛
35	34	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
36		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐹‘𝑛) = ∅)
37		fveqeq2 5684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑛) = ∅))
38	37	rspcev 2923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
39	35, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
40	39	iftrued 3633	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
41	32, 40	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ∅)
42		1n0 6678	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
43	42	neii 2416	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o = ∅
44		simpllr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
45	44	fveq1d 5677	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛))
46		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)
47		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 1o = 1o)
48	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ ω)
49	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 1o ∈ 2o)
50	46, 47, 48, 49	fvmptd3 5776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛) = 1o)
51	45, 50	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = 1o)
52	51	eqeq1d 2243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝐺‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
53	43, 52	mtbiri 682	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ¬ (𝐺‘𝑛) = ∅)
54	41, 53	pm2.65da 667	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
55	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → 𝐹:ω⟶2o)
56	55	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) ∈ 2o)
57		elpri 3717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ {∅, 1o} → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
58		df2o3 6675	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
59	57, 58	eleq2s 2329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ 2o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
60	56, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
61	60	orcomd 737	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = 1o ∨ (𝐹‘𝑛) = ∅))
62	54, 61	ecased 1386	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) = 1o)
63	62	ralrimiva 2617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)
64		eqeq1 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
65	43, 64	mtbiri 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
66	65	ralimi 2607	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
67		ralnex 2532	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
68	66, 67	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
69		fveqeq2 5684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑥) = ∅))
70	69	cbvrexv 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
71	68, 70	sylnib 683	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
72	71	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
73		peano2 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
74	73	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
75		elomssom 4732	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ⊆ ω)
76		ssrexv 3307	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ⊆ ω → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
77	74, 75, 76	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
78	72, 77	mtod 669	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
79	78	iffalsed 3636	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
80	79	mpteq2dva 4205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
81	1, 80	eqtrid 2279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
82	63, 81	impbida 600	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3624  {cpr 3695   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7481  nninfinfwlpolem  7482