Theorem nninfwlpoimlemginf 7173

Description: Lemma for nninfwlpoim 7175. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemginf	⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemginf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfwlpoimlemg.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
2		suceq 4402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → suc 𝑖 = suc 𝑛)
3	2	rexeqdv 2679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅))
4	3	ifbid 3555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
6		0lt2o 6441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
8		1lt2o 6442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
10		peano2 4594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ ω)
12		nnfi 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ∈ Fin)
14		2ssom 6524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ⊆ ω
15		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝐹:ω⟶2o)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ suc 𝑛)
18	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → suc 𝑛 ∈ ω)
19		elnn 4605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑛 ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ω)
21	16, 20	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
22	14, 21	sselid 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
23		peano1 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ ω
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → ∅ ∈ ω)
25		nndceq 6499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑛) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
27	26	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
28		finexdc 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑛DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
29	13, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	7, 9, 29	ifcldcd 3570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
31	1, 4, 5, 30	fvmptd3 5609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
33		vex 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
34	33	sucid 4417	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ suc 𝑛
35	34	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ suc 𝑛)
36		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐹‘𝑛) = ∅)
37		fveqeq2 5524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑛) = ∅))
38	37	rspcev 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ suc 𝑛 ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
39	35, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅)
40	39	iftrued 3541	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
41	32, 40	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ∅)
42		1n0 6432	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
43	42	neii 2349	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o = ∅
44		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
45	44	fveq1d 5517	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛))
46		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)
47		eqidd 2178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 1o = 1o)
48	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ ω)
49	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → 1o ∈ 2o)
50	46, 47, 48, 49	fvmptd3 5609	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o)‘𝑛) = 1o)
51	45, 50	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → (𝐺‘𝑛) = 1o)
52	51	eqeq1d 2186	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ((𝐺‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
53	43, 52	mtbiri 675	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘𝑛) = ∅) → ¬ (𝐺‘𝑛) = ∅)
54	41, 53	pm2.65da 661	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
55	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → 𝐹:ω⟶2o)
56	55	ffvelcdmda 5651	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) ∈ 2o)
57		elpri 3615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ {∅, 1o} → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
58		df2o3 6430	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
59	57, 58	eleq2s 2272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ 2o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
60	56, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ∨ (𝐹‘𝑛) = 1o))
61	60	orcomd 729	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘𝑛) = 1o ∨ (𝐹‘𝑛) = ∅))
62	54, 61	ecased 1349	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝐹‘𝑛) = 1o)
63	62	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)
64		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ 1o = ∅))
65	43, 64	mtbiri 675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
66	65	ralimi 2540	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅)
67		ralnex 2465	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ¬ (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
68	66, 67	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅)
69		fveqeq2 5524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ (𝐹‘𝑥) = ∅))
70	69	cbvrexv 2704	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
71	68, 70	sylnib 676	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
72	71	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅)
73		peano2 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
74	73	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
75		elomssom 4604	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ⊆ ω)
76		ssrexv 3220	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ⊆ ω → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
77	74, 75, 76	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘𝑥) = ∅))
78	72, 77	mtod 663	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
79	78	iffalsed 3544	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
80	79	mpteq2dva 4093	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
81	1, 80	eqtrid 2222	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
82	63, 81	impbida 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  ifcif 3534  {cpr 3593   ↦ cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  1_oc1o 6409  2_oc2o 6410  Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7174