ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zproddc GIF version

Theorem zproddc 11601
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
zprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
zproddc.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
zprod.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐‘)
zproddc.dc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
zprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
zprod.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
zproddc (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘—,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐น   ๐‘—,๐‘€,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘—,๐‘,๐‘˜,๐‘›   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘—,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฆ)

Proof of Theorem zproddc
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘– ๐‘š ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ž ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
2 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)
31, 2jca 306 . . . . . . . 8 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
4 nfcv 2329 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘–if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)
5 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘– โˆˆ ๐ด
6 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต
7 nfcv 2329 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜1
85, 6, 7nfif 3574 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘– โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
9 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘– โˆˆ ๐ด))
10 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
119, 10ifbieq1d 3568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘– โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
124, 8, 11cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘– โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
13 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐œ‘)
14 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
166nfel1 2340 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
1710eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1816, 17rspc 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1915, 18syl5 32 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
2013, 19mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
22 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2322ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
24 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
25 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐‘)
26 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2725, 26sseqtrdi 3215 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
29 zproddc.dc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
3026raleqi 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
3129, 30sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
32 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘– โˆˆ ๐ด))
3332dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด))
3433cbvralv 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3531, 34sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3635r19.21bi 2575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3736adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3837adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3938adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
40 simp-4l 541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐œ‘)
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4227ssneld 3169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด))
4340, 41, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด)
4443olcd 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด))
45 df-dc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘– โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด))
4644, 45sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
47 eluzelz 9551 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
48 eluzdc 9624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4923, 47, 48syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
50 exmiddc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
5239, 46, 51mpjaodan 799 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
5312, 20, 21, 23, 24, 28, 52, 38prodrbdc 11596 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
5453biimpd 144 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
5554expimpd 363 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
563, 55syl5 32 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
5756rexlimdva 2604 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
58 uzssz 9561 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โІ โ„ค
5927, 58sstrdi 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„ค)
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐ด โІ โ„ค)
61 1zzd 9294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
62 nnz 9286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6362adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6463adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6561, 64fzfigd 10445 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
67 f1oeng 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
6968ensymd 6797 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š))
70 enfii 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7165, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
72 zfz1iso 10835 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โІ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
7360, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
74 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐œ‘)
7574, 19mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
76 breq1 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
77 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘“โ€˜๐‘—))
7877csbeq1d 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘— โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7976, 78ifbieq1d 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = ๐‘— โ†’ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
80 csbcow 3080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต
81 ifeq1 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
8379, 82eqtr4di 2238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = ๐‘— โ†’ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
8483cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
85 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
8636ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
87 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
8822ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8927ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
90 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
91 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
9212, 75, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91prodmodclem2a 11598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
9365adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
9493, 90fihasheqf1od 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘š)) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
9587nnnn0d 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
96 hashfz1 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘š)) = ๐‘š)
9795, 96syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘š)) = ๐‘š)
9894, 97eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ๐‘š)
9998breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
10099ifbid 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
101100mpteq2dv 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
102101seqeq3d 10467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))))
103102fveq1d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
10492, 103breqtrd 4041 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
105104expr 375 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))
106105exlimdv 1829 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))
10773, 106mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
108 breq2 4019 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š) โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))
109107, 108syl5ibrcom 157 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
110109expimpd 363 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
111110exlimdv 1829 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
112111rexlimdva 2604 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
11357, 112jaod 718 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
11422adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11527adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
11631adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
117115, 116jca 306 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด))
118 zproddc.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
11926eleq2i 2254 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
120 eluzelz 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
121120adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
122 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
123 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
124 uztrn 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
125122, 123, 124syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
126125, 26eleqtrrdi 2281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
127 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
128127ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
129128ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
130 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘ โˆˆ ๐ด
131 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
132130, 131, 7nfif 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
133132nfeq2 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
134 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘))
135 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ โˆˆ ๐ด))
136 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
137135, 136ifbieq1d 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
138134, 137eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†” (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
139133, 138rspc 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
140126, 129, 139sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
141 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
14215ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
143131nfel1 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
144136eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
145143, 144rspc 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
146141, 142, 145sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
147 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
148 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ โˆˆ ๐ด))
149148dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘ โˆˆ ๐ด))
15029ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
151149, 150, 126rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ DECID ๐‘ โˆˆ ๐ด)
152146, 147, 151ifcldadc 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
153140, 152eqeltrd 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
154 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
155 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
156 uztrn 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
157154, 155, 156syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
158157, 26eleqtrrdi 2281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
159128ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
160 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด
161 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
162160, 161, 7nfif 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
163162nfeq2 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
164 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘Ÿ))
165 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด))
166 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
167165, 166ifbieq1d 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
168164, 167eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†” (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
169163, 168rspc 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
170158, 159, 169sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
17158, 157sselid 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
172 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
17315ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
174161nfel1 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
175166eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
176174, 175rspc 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
177172, 173, 176sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
178 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ยฌ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
179 eleq1w 2248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด))
180179dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘Ÿ โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด))
18129ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
182180, 181, 158rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ DECID ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
183177, 178, 182ifcldadc 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
184 nfcv 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„ฒ๐‘˜๐‘Ÿ
185 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
186184, 162, 167, 185fvmptf 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
187171, 183, 186syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
188170, 187eqtr4d 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ))
189 mulcl 7952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
190189adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
191121, 153, 188, 190seq3feq 10486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
192191breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
193192anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
194193exbidv 1835 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
195119, 194sylan2b 287 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
196195rexbidva 2484 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
197118, 196mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
19826rexeqi 2688 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
199197, 198sylib 122 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
200199anim1i 340 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
201 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
202201sseq2d 3197 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†” ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
203201raleqdv 2689 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด))
204202, 203anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)))
205201rexeqdv 2690 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
206 seqeq1 10462 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
207206breq1d 4025 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
208205, 207anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
209204, 208anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†” ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))))
210209rspcev 2853 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
211114, 117, 200, 210syl12anc 1246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
212211orcd 734 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))))
213212ex 115 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))))
214113, 213impbid 129 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))) โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
215 eluzelz 9551 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
216 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
21715ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
218216, 217, 145sylc 62 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
219 1cnd 7987 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
22029adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
22126eleq2i 2254 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
222221biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
223222adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
224149, 220, 223rspcdva 2858 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘ โˆˆ ๐ด)
225218, 219, 224ifcldadc 3575 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
226 nfcv 2329 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘
227226, 132, 137, 185fvmptf 5621 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
228215, 225, 227syl2an2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
229228, 225eqeltrd 2264 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
230 eluzelz 9551 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
231 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
23215ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
233231, 232, 176sylc 62 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
234 1cnd 7987 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
23529adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
23626eleq2i 2254 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
237236biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
238237adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
239180, 235, 238rspcdva 2858 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
240233, 234, 239ifcldadc 3575 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
241230, 240, 186syl2an2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
242128adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
243238, 242, 169sylc 62 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
244241, 243eqtr4d 2223 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = (๐นโ€˜๐‘Ÿ))
245189adantl 277 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
24622, 229, 244, 245seq3feq 10486 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
247246breq1d 4025 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
248214, 247bitrd 188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))) โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
249248iotabidv 5211 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))) = (โ„ฉ๐‘ฅseq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
250 df-proddc 11573 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))))
251 df-fv 5236 . 2 ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)) = (โ„ฉ๐‘ฅseq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
252249, 250, 2513eqtr4g 2245 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363  โˆƒwex 1502   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆƒwrex 2466  โฆ‹csb 3069   โІ wss 3141  ifcif 3546   class class class wbr 4015   โ†ฆ cmpt 4076  โ„ฉcio 5188  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5227  โ€˜cfv 5228   Isom wiso 5229  (class class class)co 5888   โ‰ˆ cen 6752  Fincfn 6754  โ„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   # cap 8552  โ„•cn 8933  โ„•0cn0 9190  โ„คcz 9267  โ„คโ‰ฅcuz 9542  ...cfz 10022  seqcseq 10459  โ™ฏchash 10769   โ‡ cli 11300  โˆcprod 11572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573
This theorem is referenced by:  iprodap  11602  zprodap0  11603  prodssdc  11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator