ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zproddc GIF version

Theorem zproddc 11590
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
zprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
zproddc.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
zprod.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐‘)
zproddc.dc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
zprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
zprod.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
zproddc (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘—,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐น   ๐‘—,๐‘€,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘—,๐‘,๐‘˜,๐‘›   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘—,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฆ)

Proof of Theorem zproddc
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘– ๐‘š ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ž ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
2 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)
31, 2jca 306 . . . . . . . 8 (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
4 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘–if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)
5 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘– โˆˆ ๐ด
6 nfcsb1v 3092 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต
7 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜1
85, 6, 7nfif 3564 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘– โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
9 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘– โˆˆ ๐ด))
10 csbeq1a 3068 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
119, 10ifbieq1d 3558 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘– โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
124, 8, 11cbvmpt 4100 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘– โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
13 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐œ‘)
14 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
166nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
1710eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1816, 17rspc 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1915, 18syl5 32 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
2013, 19mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
21 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
22 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2322ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
24 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
25 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐‘)
26 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2725, 26sseqtrdi 3205 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
29 zproddc.dc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
3026raleqi 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
3129, 30sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
32 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘– โˆˆ ๐ด))
3332dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด))
3433cbvralv 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3531, 34sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3635r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3736adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3837adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
3938adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
40 simp-4l 541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐œ‘)
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4227ssneld 3159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด))
4340, 41, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด)
4443olcd 734 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด))
45 df-dc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘– โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐ด))
4644, 45sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
47 eluzelz 9540 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
48 eluzdc 9613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4923, 47, 48syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
50 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆจ ยฌ ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
5239, 46, 51mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
5312, 20, 21, 23, 24, 28, 52, 38prodrbdc 11585 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
5453biimpd 144 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
5554expimpd 363 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
563, 55syl5 32 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
5756rexlimdva 2594 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
58 uzssz 9550 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โІ โ„ค
5927, 58sstrdi 3169 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„ค)
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐ด โІ โ„ค)
61 1zzd 9283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
62 nnz 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6362adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6463adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6561, 64fzfigd 10434 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
67 f1oeng 6760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
6968ensymd 6786 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š))
70 enfii 6877 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7165, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
72 zfz1iso 10824 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โІ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
7360, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
74 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐œ‘)
7574, 19mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
76 breq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
77 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘“โ€˜๐‘—))
7877csbeq1d 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘— โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7976, 78ifbieq1d 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = ๐‘— โ†’ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
80 csbcow 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต
81 ifeq1 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
8379, 82eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = ๐‘— โ†’ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
8483cbvmptv 4101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
85 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘–โฆŒโฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
8636ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘– โˆˆ ๐ด)
87 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
8822ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8927ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
90 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
91 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
9212, 75, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91prodmodclem2a 11587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
9365adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
9493, 90fihasheqf1od 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘š)) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
9587nnnn0d 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
96 hashfz1 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘š)) = ๐‘š)
9795, 96syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘š)) = ๐‘š)
9894, 97eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ๐‘š)
9998breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
10099ifbid 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
101100mpteq2dv 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
102101seqeq3d 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))))
103102fveq1d 5519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
10492, 103breqtrd 4031 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
105104expr 375 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))
106105exlimdv 1819 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))
10773, 106mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))
108 breq2 4009 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š) โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))
109107, 108syl5ibrcom 157 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
110109expimpd 363 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
111110exlimdv 1819 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
112111rexlimdva 2594 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
11357, 112jaod 717 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))) โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
11422adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11527adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
11631adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
117115, 116jca 306 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด))
118 zproddc.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
11926eleq2i 2244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
120 eluzelz 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
121120adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
122 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
123 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
124 uztrn 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
125122, 123, 124syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
126125, 26eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
127 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
128127ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
129128ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
130 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘ โˆˆ ๐ด
131 nfcsb1v 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
132130, 131, 7nfif 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
133132nfeq2 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
134 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘))
135 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ โˆˆ ๐ด))
136 csbeq1a 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
137135, 136ifbieq1d 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
138134, 137eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†” (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
139133, 138rspc 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
140126, 129, 139sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
141 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
14215ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
143131nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
144136eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
145143, 144rspc 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
146141, 142, 145sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
147 1cnd 7976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
148 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ โˆˆ ๐ด))
149148dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘ โˆˆ ๐ด))
15029ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
151149, 150, 126rspcdva 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ DECID ๐‘ โˆˆ ๐ด)
152146, 147, 151ifcldadc 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
153140, 152eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
154 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
155 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
156 uztrn 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
157154, 155, 156syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
158157, 26eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
159128ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
160 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด
161 nfcsb1v 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
162160, 161, 7nfif 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
163162nfeq2 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
164 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘Ÿ))
165 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด))
166 csbeq1a 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
167165, 166ifbieq1d 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
168164, 167eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†” (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
169163, 168rspc 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))
170158, 159, 169sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
17158, 157sselid 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
172 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
17315ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
174161nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
175166eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
176174, 175rspc 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
177172, 173, 176sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
178 1cnd 7976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โˆง ยฌ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
179 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘— = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด))
180179dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— = ๐‘Ÿ โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด))
18129ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
182180, 181, 158rspcdva 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ DECID ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
183177, 178, 182ifcldadc 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
184 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„ฒ๐‘˜๐‘Ÿ
185 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
186184, 162, 167, 185fvmptf 5611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
187171, 183, 186syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
188170, 187eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ))
189 mulcl 7941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
190189adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
191121, 153, 188, 190seq3feq 10475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
192191breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
193192anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
194193exbidv 1825 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
195119, 194sylan2b 287 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
196195rexbidva 2474 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
197118, 196mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
19826rexeqi 2678 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
199197, 198sylib 122 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
200199anim1i 340 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
201 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
202201sseq2d 3187 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†” ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
203201raleqdv 2679 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด))
204202, 203anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)))
205201rexeqdv 2680 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
206 seqeq1 10451 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
207206breq1d 4015 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
208205, 207anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
209204, 208anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†” ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))))
210209rspcev 2843 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
211114, 117, 200, 210syl12anc 1236 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
212211orcd 733 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))))
213212ex 115 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))))
214113, 213impbid 129 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))) โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
215 eluzelz 9540 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
216 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
21715ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
218216, 217, 145sylc 62 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
219 1cnd 7976 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
22029adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
22126eleq2i 2244 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
222221biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
223222adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
224149, 220, 223rspcdva 2848 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘ โˆˆ ๐ด)
225218, 219, 224ifcldadc 3565 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
226 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘
227226, 132, 137, 185fvmptf 5611 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
228215, 225, 227syl2an2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
229228, 225eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
230 eluzelz 9540 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
231 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
23215ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
233231, 232, 176sylc 62 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
234 1cnd 7976 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
23529adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
23626eleq2i 2244 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
237236biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
238237adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘)
239180, 235, 238rspcdva 2848 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด)
240233, 234, 239ifcldadc 3565 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
241230, 240, 186syl2an2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
242128adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
243238, 242, 169sylc 62 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ÿ) = if(๐‘Ÿ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘Ÿ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
244241, 243eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘Ÿ) = (๐นโ€˜๐‘Ÿ))
245189adantl 277 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
24622, 229, 244, 245seq3feq 10475 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
247246breq1d 4015 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
248214, 247bitrd 188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))) โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
249248iotabidv 5201 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š)))) = (โ„ฉ๐‘ฅseq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
250 df-proddc 11562 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ # 0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค ๐‘š, โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)))โ€˜๐‘š))))
251 df-fv 5226 . 2 ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)) = (โ„ฉ๐‘ฅseq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
252249, 250, 2513eqtr4g 2235 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  โฆ‹csb 3059   โІ wss 3131  ifcif 3536   class class class wbr 4005   โ†ฆ cmpt 4066  โ„ฉcio 5178  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5217  โ€˜cfv 5218   Isom wiso 5219  (class class class)co 5878   โ‰ˆ cen 6741  Fincfn 6743  โ„‚cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   ยท cmul 7819   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   # cap 8541  โ„•cn 8922  โ„•0cn0 9179  โ„คcz 9256  โ„คโ‰ฅcuz 9531  ...cfz 10011  seqcseq 10448  โ™ฏchash 10758   โ‡ cli 11289  โˆcprod 11561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-proddc 11562
This theorem is referenced by:  iprodap  11591  zprodap0  11592  prodssdc  11600
  Copyright terms: Public domain W3C validator