Theorem raleqbi1dv 2761

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2749	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
2		raleqd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
4	1, 3	bitrd 188	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is used by:  frforeq2  4492  weeq2  4504  peano5  4747  isoeq4  6013  exmidomni  7488  papeq2  7616  tapeq2  7625  pitonn  8221  peano1nnnn  8225  peano2nnnn  8226  peano5nnnn  8265  peano5nni  9316  1nn  9324  peano2nn  9325  dfuzi  9766  mhmpropd  13831  issubm  13837  isghm  14104  ghmeql  14128  iscmn  14185  dfrhm2  14569  islssm  14802  islssmg  14803  istopg  15242  isbasisg  15287  basis2  15291  eltg2  15296  ispsmet  15566  ismet  15587  isxmet  15588  metrest  15749  cncfval  15815  bj-indeq  17177  bj-nntrans  17199