Theorem raleqbi1dv 2761

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2749	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
2		raleqd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
4	1, 3	bitrd 188	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is used by:  frforeq2  4490  weeq2  4502  peano5  4745  isoeq4  6010  exmidomni  7482  papeq2  7610  tapeq2  7619  pitonn  8215  peano1nnnn  8219  peano2nnnn  8220  peano5nnnn  8259  peano5nni  9309  1nn  9317  peano2nn  9318  dfuzi  9760  mhmpropd  13822  issubm  13828  isghm  14095  ghmeql  14119  iscmn  14145  dfrhm2  14510  islssm  14743  islssmg  14744  istopg  15149  isbasisg  15194  basis2  15198  eltg2  15203  ispsmet  15473  ismet  15494  isxmet  15495  metrest  15656  cncfval  15722  bj-indeq  17053  bj-nntrans  17075