Theorem raleqbi1dv 2705

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2693	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
2		raleqd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	ralbidv 2497	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
4	1, 3	bitrd 188	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  frforeq2  4381  weeq2  4393  peano5  4635  isoeq4  5854  exmidomni  7217  tapeq2  7338  pitonn  7934  peano1nnnn  7938  peano2nnnn  7939  peano5nnnn  7978  peano5nni  9012  1nn  9020  peano2nn  9021  dfuzi  9455  mhmpropd  13170  issubm  13176  isghm  13451  ghmeql  13475  iscmn  13501  dfrhm2  13788  islssm  13991  islssmg  13992  istopg  14343  isbasisg  14388  basis2  14392  eltg2  14397  ispsmet  14667  ismet  14688  isxmet  14689  metrest  14850  cncfval  14916  bj-indeq  15683  bj-nntrans  15705