Theorem raleqbi1dv 2634

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2626	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
2		raleqd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	ralbidv 2437	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
4	1, 3	bitrd 187	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∀wral 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421

This theorem is referenced by:  frforeq2  4267  weeq2  4279  peano5  4512  isoeq4  5705  exmidomni  7014  pitonn  7656  peano1nnnn  7660  peano2nnnn  7661  peano5nnnn  7700  peano5nni  8723  1nn  8731  peano2nn  8732  dfuzi  9161  istopg  12166  isbasisg  12211  basis2  12215  eltg2  12222  ispsmet  12492  ismet  12513  isxmet  12514  metrest  12675  cncfval  12728  bj-indeq  13127  bj-nntrans  13149