Theorem raleqbi1dv 2743

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2731	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
2		raleqd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	ralbidv 2533	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
4	1, 3	bitrd 188	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∀wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516

This theorem is referenced by:  frforeq2  4448  weeq2  4460  peano5  4702  isoeq4  5955  exmidomni  7401  tapeq2  7532  pitonn  8128  peano1nnnn  8132  peano2nnnn  8133  peano5nnnn  8172  peano5nni  9205  1nn  9213  peano2nn  9214  dfuzi  9651  mhmpropd  13629  issubm  13635  isghm  13910  ghmeql  13934  iscmn  13960  dfrhm2  14249  islssm  14453  islssmg  14454  istopg  14810  isbasisg  14855  basis2  14859  eltg2  14864  ispsmet  15134  ismet  15155  isxmet  15156  metrest  15317  cncfval  15383  bj-indeq  16645  bj-nntrans  16667