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Theorem infssuzex 11653
Description: Existence of the infimum of a subset of an upper set of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a (𝜑𝐴𝑆)
infssuzledc.dc ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
Assertion
Ref Expression
infssuzex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infssuzex
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑎 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 9073 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
2 infssuzledc.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
3 infssuzledc.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
43eleq2i 2206 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓})
52, 4sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓})
6 elrabi 2837 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
75, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelz 9347 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
97, 8syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
109znegcld 9187 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
11 negeq 7967 . . . . . . 7 (𝑚 = -𝐴 → -𝑚 = --𝐴)
1211eleq1d 2208 . . . . . 6 (𝑚 = -𝐴 → (-𝑚𝑆 ↔ --𝐴𝑆))
139zcnd 9186 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1413negnegd 8076 . . . . . . 7 (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
1514, 2eqeltrd 2216 . . . . . 6 (𝜑 → --𝐴𝑆)
16 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ≤ -𝑚)
179adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817zred 9185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 eluzelz 9347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
2120zred 9185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℝ)
22 eluzle 9350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴) → -𝐴𝑚)
2322adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → -𝐴𝑚)
2418, 21, 23lenegcon1d 8301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → -𝑚𝐴)
2524adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚𝐴)
2616, 25jca 304 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚𝐴))
2720znegcld 9187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → -𝑚 ∈ ℤ)
2827adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ ℤ)
29 infssuzledc.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3029ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
319ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝐴 ∈ ℤ)
32 elfz 9808 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚𝐴)))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚𝐴)))
3426, 33mpbird 166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (𝑀...𝐴))
35 infssuzledc.dc . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
3635ralrimiva 2505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
3736ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
38 nfsbc1v 2927 . . . . . . . . . . 11 𝑛[-𝑚 / 𝑛]𝜓
3938nfdc 1637 . . . . . . . . . 10 𝑛DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓
40 sbceq1a 2918 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = -𝑚 → (𝜓[-𝑚 / 𝑛]𝜓))
4140dcbid 823 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑚 → (DECID 𝜓DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
4239, 41rspc 2783 . . . . . . . . 9 (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
4334, 37, 42sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓)
443eleq2i 2206 . . . . . . . . . 10 (-𝑚𝑆 ↔ -𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓})
45 elfzuz 9814 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → -𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4634, 45syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4746biantrurd 303 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ([-𝑚 / 𝑛]𝜓 ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓)))
48 nfcv 2281 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(ℤ𝑀)
4948elrabsf 2947 . . . . . . . . . . 11 (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
5047, 49syl6rbbr 198 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
5144, 50syl5bb 191 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚𝑆[-𝑚 / 𝑛]𝜓))
5251dcbid 823 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (DECID -𝑚𝑆DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
5343, 52mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚𝑆)
54 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ 𝑀 ≤ -𝑚)
55 elrabi 2837 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
56 eluzle 9350 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ≤ -𝑚)
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . 11 (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑀 ≤ -𝑚)
5857, 3eleq2s 2234 . . . . . . . . . 10 (-𝑚𝑆𝑀 ≤ -𝑚)
5954, 58nsyl 617 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ -𝑚𝑆)
6059olcd 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚𝑆 ∨ ¬ -𝑚𝑆))
61 df-dc 820 . . . . . . . 8 (DECID -𝑚𝑆 ↔ (-𝑚𝑆 ∨ ¬ -𝑚𝑆))
6260, 61sylibr 133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚𝑆)
6329adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
64 zdcle 9139 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑚 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
6563, 27, 64syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
66 exmiddc 821 . . . . . . . 8 (DECID 𝑀 ≤ -𝑚 → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
6765, 66syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
6853, 62, 67mpjaodan 787 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘-𝐴)) → DECID -𝑚𝑆)
69 eluzle 9350 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐴)
707, 69syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝐴)
7129zred 9185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
729zred 9185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7371, 72lenegd 8298 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
7470, 73mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐴 ≤ -𝑀)
7529znegcld 9187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
76 eluz 9351 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ (ℤ‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
7710, 75, 76syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑀 ∈ (ℤ‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
7874, 77mpbird 166 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑀 ∈ (ℤ‘-𝐴))
79 peano2uz 9390 . . . . . . . 8 (-𝑀 ∈ (ℤ‘-𝐴) → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘-𝐴))
8078, 79syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘-𝐴))
8171ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
8281renegcld 8154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → -𝑀 ∈ ℝ)
83 peano2re 7910 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑀 ∈ ℝ → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
85 eluzelz 9347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
8685ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ ℤ)
8786zred 9185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ ℝ)
88 eluzle 9350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1)) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
8988ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
9055, 3eleq2s 2234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑚𝑆 → -𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
9190adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ -𝑚𝑆) → -𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
9291, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ -𝑚𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
9392adantlr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
9481, 87, 93lenegcon2d 8302 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → 𝑚 ≤ -𝑀)
9584, 87, 82, 89, 94letrd 7898 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀)
9675ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → -𝑀 ∈ ℤ)
97 zltp1le 9120 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
9896, 96, 97syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
9995, 98mpbird 166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → -𝑀 < -𝑀)
10082ltnrd 7887 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚𝑆) → ¬ -𝑀 < -𝑀)
10199, 100pm2.65da 650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1))) → ¬ -𝑚𝑆)
102101ralrimiva 2505 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚𝑆)
103 fveq2 5421 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(-𝑀 + 1)))
104103raleqdv 2632 . . . . . . . 8 (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ¬ -𝑚𝑆 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚𝑆))
105104rspcev 2789 . . . . . . 7 (((-𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘-𝐴) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚𝑆) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ¬ -𝑚𝑆)
10680, 102, 105syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ¬ -𝑚𝑆)
10710, 12, 15, 68, 106zsupcllemex 11650 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)))
108 zre 9070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
109108anim1i 338 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏𝑆) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆))
110 elrabi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑏 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑏 ∈ (ℤ𝑀))
111110, 3eleq2s 2234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑏𝑆 → -𝑏 ∈ (ℤ𝑀))
112 eluzelz 9347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑏 ∈ (ℤ𝑀) → -𝑏 ∈ ℤ)
113111, 112syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑏𝑆 → -𝑏 ∈ ℤ)
114113adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆) → -𝑏 ∈ ℤ)
115 recn 7765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
116 znegclb 9099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
117115, 116syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
118117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
119114, 118mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆) → 𝑏 ∈ ℤ)
120 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆) → -𝑏𝑆)
121119, 120jca 304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏𝑆))
122109, 121impbii 125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏𝑆) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆))
123 negeq 7967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑏 → -𝑚 = -𝑏)
124123eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑏 → (-𝑚𝑆 ↔ -𝑏𝑆))
125124elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏𝑆))
126124elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏𝑆))
127122, 125, 1263bitr4i 211 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆})
128127a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}))
129128eqrdv 2137 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} = {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆})
130129raleqdv 2632 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦))
131129rexeqdv 2633 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧))
132131imbi2d 229 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)))
133132ralbidv 2437 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)))
134130, 133anbi12d 464 . . . . . 6 (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧))))
135134rexbidv 2438 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧))))
136107, 135mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)))
137 ssrexv 3162 . . . 4 (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧))))
1381, 136, 137mpsyl 65 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}𝑦 < 𝑧)))
139 ssrab2 3182 . . . 4 {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ⊆ ℝ
140139a1i 9 . . 3 (𝜑 → {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ⊆ ℝ)
141138, 140supinfneg 9402 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}}𝑧 < 𝑦)))
142 elrabi 2837 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} → 𝑎 ∈ ℝ)
143 elrabi 2837 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
144143, 3eleq2s 2234 . . . . . . . 8 (𝑎𝑆𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
145 eluzelre 9348 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑎 ∈ ℝ)
146144, 145syl 14 . . . . . . 7 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ)
147 negeq 7967 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑎 → -𝑤 = -𝑎)
148147eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑎 → (-𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}))
149148elrab3 2841 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}))
150 renegcl 8035 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
151150biantrurd 303 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎𝑆 ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝑆)))
152 negeq 7967 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = -𝑎 → -𝑚 = --𝑎)
153152eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = -𝑎 → (-𝑚𝑆 ↔ --𝑎𝑆))
154153elrab 2840 . . . . . . . . 9 (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎𝑆))
155151, 154syl6rbbr 198 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆} ↔ --𝑎𝑆))
156 recn 7765 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
157156negnegd 8076 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
158157eleq1d 2208 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎𝑆𝑎𝑆))
159149, 155, 1583bitrd 213 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ↔ 𝑎𝑆))
160142, 146, 159pm5.21nii 693 . . . . . 6 (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ↔ 𝑎𝑆)
161160eqriv 2136 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} = 𝑆
162161raleqi 2630 . . . 4 (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
163161rexeqi 2631 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}}𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)
164163imbi2i 225 . . . . 5 ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
165164ralbii 2441 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
166162, 165anbi12i 455 . . 3 ((∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
167166rexbii 2442 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
168141, 167sylib 121 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  [wsbc 2909  wss 3071   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  1c1 7633   + caddc 7635   < clt 7812  cle 7813  -cneg 7946  cz 9066  cuz 9338  ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932
This theorem is referenced by:  infssuzledc  11654  infssuzcldc  11655
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