Theorem infssuzex 10666

Description: Existence of the infimum of a subset of an upper set of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑛)   𝐴(𝑥, 𝑧)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem infssuzex

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑎 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 9651	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		infssuzledc.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		infssuzledc.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
4	3	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
5	2, 4	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
6		elrabi 2979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelz 9931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	znegcld 9770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
11		negeq 8519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = -𝐴 → -𝑚 = --𝐴)
12	11	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = -𝐴 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ --𝐴 ∈ 𝑆))
13	9	zcnd 9769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 8628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
15	14, 2	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --𝐴 ∈ 𝑆)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ≤ -𝑚)
17	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zred 9768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
21	20	zred 9768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℝ)
22		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → -𝐴 ≤ 𝑚)
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝐴 ≤ 𝑚)
24	18, 21, 23	lenegcon1d 8855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝑚 ≤ 𝐴)
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ≤ 𝐴)
26	16, 25	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴))
27	20	znegcld 9770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝑚 ∈ ℤ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ ℤ)
29		infssuzledc.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
30	29	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		elfz 10417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴)))
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴)))
34	26, 33	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (𝑀...𝐴))
35		infssuzledc.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
36	35	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
37	36	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
38		nfsbc1v 3070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛[-𝑚 / 𝑛]𝜓
39	38	nfdc 1711	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓
40		sbceq1a 3061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝜓 ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
41	40	dcbid 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (DECID 𝜓 ↔ DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
42	39, 41	rspc 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓 → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
43	34, 37, 42	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓)
44	3	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ -𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
45		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑀)
46	45	elrabsf 3090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
47		elfzuz 10424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	34, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ([-𝑚 / 𝑛]𝜓 ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓)))
50	46, 49	bitr4id 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
51	44, 50	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
52	51	dcbid 850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (DECID -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
53	43, 52	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
54		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ 𝑀 ≤ -𝑚)
55		elrabi 2979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ -𝑚)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑀 ≤ -𝑚)
58	57, 3	eleq2s 2333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 → 𝑀 ≤ -𝑚)
59	54, 58	nsyl 637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
60	59	olcd 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ 𝑆 ∨ ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
61		df-dc 847	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ (-𝑚 ∈ 𝑆 ∨ ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
62	60, 61	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
63	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
64		zdcle 9721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑚 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
65	63, 27, 64	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
66		exmiddc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ -𝑚 → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
67	65, 66	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
68	53, 62, 67	mpjaodan 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
69		eluzle 9934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐴)
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐴)
71	29	zred 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	9	zred 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
73	71, 72	lenegd 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
74	70, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≤ -𝑀)
75	29	znegcld 9770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
76		eluz 9935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
77	10, 75, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
78	74, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
79		peano2uz 9983	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
81	71	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
82	81	renegcld 8707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 ∈ ℝ)
83		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑀 ∈ ℝ → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
85		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
86	85	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ ℤ)
87	86	zred 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ ℝ)
88		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
89	88	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
90	55, 3	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91	90	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	91, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
93	92	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
94	81, 87, 93	lenegcon2d 8856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ≤ -𝑀)
95	84, 87, 82, 89, 94	letrd 8450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀)
96	75	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 ∈ ℤ)
97		zltp1le 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
98	96, 96, 97	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
99	95, 98	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 < -𝑀)
100	82	ltnrd 8437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → ¬ -𝑀 < -𝑀)
101	99, 100	pm2.65da 671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) → ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
102	101	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
103		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)))
104	103	raleqdv 2755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
105	104	rspcev 2929	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
106	80, 102, 105	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
107	10, 12, 15, 68, 106	zsupcllemex 10663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
108		zre 9648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
109	108	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
110		elrabi 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝑏 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
111	110, 3	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ 𝑆 → -𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
112		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → -𝑏 ∈ ℤ)
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑏 ∈ 𝑆 → -𝑏 ∈ ℤ)
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → -𝑏 ∈ ℤ)
115		recn 8312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
116		znegclb 9677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
119	114, 118	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℤ)
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → -𝑏 ∈ 𝑆)
121	119, 120	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
122	109, 121	impbii 126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
123		negeq 8519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑏 → -𝑚 = -𝑏)
124	123	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑏 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ -𝑏 ∈ 𝑆))
125	124	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
126	124	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
127	122, 125, 126	3bitr4i 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆})
128	127	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
129	128	eqrdv 2236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} = {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆})
130	129	raleqdv 2755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦))
131	129	rexeqdv 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))
132	131	imbi2d 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
133	132	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
134	130, 133	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
135	134	rexbidv 2551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
136	107, 135	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
137		ssrexv 3313	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
138	1, 136, 137	mpsyl 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
139		ssrab2 3333	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ⊆ ℝ
140	139	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ⊆ ℝ)
141	138, 140	supinfneg 9995	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)))
142		elrabi 2979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} → 𝑎 ∈ ℝ)
143		elrabi 2979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
144	143, 3	eleq2s 2333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145		eluzelre 9932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑎 ∈ ℝ)
146	144, 145	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
147		negeq 8519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → -𝑤 = -𝑎)
148	147	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (-𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
149	148	elrab3 2983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
150		negeq 8519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = -𝑎 → -𝑚 = --𝑎)
151	150	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = -𝑎 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ --𝑎 ∈ 𝑆))
152	151	elrab 2982	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝑆))
153		renegcl 8587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
154	153	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝑆)))
155	152, 154	bitr4id 199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ --𝑎 ∈ 𝑆))
156		recn 8312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
157	156	negnegd 8628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
158	157	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ 𝑆))
159	149, 155, 158	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ 𝑎 ∈ 𝑆))
160	142, 146, 159	pm5.21nii 716	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ 𝑎 ∈ 𝑆)
161	160	eqriv 2235	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} = 𝑆
162	161	raleqi 2753	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
163	161	rexeqi 2754	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)
164	163	imbi2i 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
165	164	ralbii 2556	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
166	162, 165	anbi12i 464	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
167	166	rexbii 2557	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
168	141, 167	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  [wsbc 3051   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   ≤ cle 8361  -cneg 8498  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550

This theorem is used by:  infssuzledc  10667  infssuzcldc  10668  nninfdcex  10672