Theorem infssuzex 11904

Description: Existence of the infimum of a subset of an upper set of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infssuzex

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑎 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 9219	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		infssuzledc.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		infssuzledc.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
4	3	eleq2i 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
5	2, 4	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
6		elrabi 2883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	znegcld 9336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
11		negeq 8112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = -𝐴 → -𝑚 = --𝐴)
12	11	eleq1d 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = -𝐴 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ --𝐴 ∈ 𝑆))
13	9	zcnd 9335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 8221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
15	14, 2	eqeltrd 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --𝐴 ∈ 𝑆)
16		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ≤ -𝑚)
17	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
21	20	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℝ)
22		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → -𝐴 ≤ 𝑚)
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝐴 ≤ 𝑚)
24	18, 21, 23	lenegcon1d 8446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝑚 ≤ 𝐴)
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ≤ 𝐴)
26	16, 25	jca 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴))
27	20	znegcld 9336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝑚 ∈ ℤ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ ℤ)
29		infssuzledc.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
30	29	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	9	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		elfz 9971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴)))
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴)))
34	26, 33	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (𝑀...𝐴))
35		infssuzledc.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
36	35	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
37	36	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
38		nfsbc1v 2973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛[-𝑚 / 𝑛]𝜓
39	38	nfdc 1652	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓
40		sbceq1a 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝜓 ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
41	40	dcbid 833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (DECID 𝜓 ↔ DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
42	39, 41	rspc 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓 → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
43	34, 37, 42	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓)
44	3	eleq2i 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ -𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
45		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑀)
46	45	elrabsf 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
47		elfzuz 9977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	34, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	48	biantrurd 303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ([-𝑚 / 𝑛]𝜓 ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓)))
50	46, 49	bitr4id 198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
51	44, 50	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
52	51	dcbid 833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (DECID -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
53	43, 52	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
54		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ 𝑀 ≤ -𝑚)
55		elrabi 2883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ -𝑚)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑀 ≤ -𝑚)
58	57, 3	eleq2s 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 → 𝑀 ≤ -𝑚)
59	54, 58	nsyl 623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
60	59	olcd 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ 𝑆 ∨ ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
61		df-dc 830	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ (-𝑚 ∈ 𝑆 ∨ ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
62	60, 61	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
63	29	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
64		zdcle 9288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑚 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
65	63, 27, 64	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
66		exmiddc 831	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ -𝑚 → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
67	65, 66	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
68	53, 62, 67	mpjaodan 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
69		eluzle 9499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐴)
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐴)
71	29	zred 9334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	9	zred 9334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
73	71, 72	lenegd 8443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
74	70, 73	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≤ -𝑀)
75	29	znegcld 9336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
76		eluz 9500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
77	10, 75, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
78	74, 77	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
79		peano2uz 9542	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
81	71	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
82	81	renegcld 8299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 ∈ ℝ)
83		peano2re 8055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑀 ∈ ℝ → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
85		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
86	85	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ ℤ)
87	86	zred 9334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ ℝ)
88		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
89	88	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
90	55, 3	eleq2s 2265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91	90	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	91, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
93	92	adantlr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
94	81, 87, 93	lenegcon2d 8447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ≤ -𝑀)
95	84, 87, 82, 89, 94	letrd 8043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀)
96	75	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 ∈ ℤ)
97		zltp1le 9266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
98	96, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
99	95, 98	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 < -𝑀)
100	82	ltnrd 8031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → ¬ -𝑀 < -𝑀)
101	99, 100	pm2.65da 656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) → ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
102	101	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
103		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)))
104	103	raleqdv 2671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
105	104	rspcev 2834	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
106	80, 102, 105	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
107	10, 12, 15, 68, 106	zsupcllemex 11901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
108		zre 9216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
109	108	anim1i 338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
110		elrabi 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝑏 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
111	110, 3	eleq2s 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ 𝑆 → -𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
112		eluzelz 9496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → -𝑏 ∈ ℤ)
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑏 ∈ 𝑆 → -𝑏 ∈ ℤ)
114	113	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → -𝑏 ∈ ℤ)
115		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
116		znegclb 9245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
118	117	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
119	114, 118	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℤ)
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → -𝑏 ∈ 𝑆)
121	119, 120	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
122	109, 121	impbii 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
123		negeq 8112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑏 → -𝑚 = -𝑏)
124	123	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑏 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ -𝑏 ∈ 𝑆))
125	124	elrab 2886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
126	124	elrab 2886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
127	122, 125, 126	3bitr4i 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆})
128	127	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
129	128	eqrdv 2168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} = {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆})
130	129	raleqdv 2671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦))
131	129	rexeqdv 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))
132	131	imbi2d 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
133	132	ralbidv 2470	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
134	130, 133	anbi12d 470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
135	134	rexbidv 2471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
136	107, 135	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
137		ssrexv 3212	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
138	1, 136, 137	mpsyl 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
139		ssrab2 3232	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ⊆ ℝ
140	139	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ⊆ ℝ)
141	138, 140	supinfneg 9554	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)))
142		elrabi 2883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} → 𝑎 ∈ ℝ)
143		elrabi 2883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
144	143, 3	eleq2s 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145		eluzelre 9497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑎 ∈ ℝ)
146	144, 145	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
147		negeq 8112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → -𝑤 = -𝑎)
148	147	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (-𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
149	148	elrab3 2887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
150		negeq 8112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = -𝑎 → -𝑚 = --𝑎)
151	150	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = -𝑎 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ --𝑎 ∈ 𝑆))
152	151	elrab 2886	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝑆))
153		renegcl 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
154	153	biantrurd 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝑆)))
155	152, 154	bitr4id 198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ --𝑎 ∈ 𝑆))
156		recn 7907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
157	156	negnegd 8221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
158	157	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ 𝑆))
159	149, 155, 158	3bitrd 213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ 𝑎 ∈ 𝑆))
160	142, 146, 159	pm5.21nii 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ 𝑎 ∈ 𝑆)
161	160	eqriv 2167	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} = 𝑆
162	161	raleqi 2669	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
163	161	rexeqi 2670	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)
164	163	imbi2i 225	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
165	164	ralbii 2476	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
166	162, 165	anbi12i 457	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
167	166	rexbii 2477	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
168	141, 167	sylib 121	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452  [wsbc 2955   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955  -cneg 8091  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  infssuzledc  11905  infssuzcldc  11906  nninfdcex  11908