Theorem infssuzex 11437

Description: Existence of the infimum of a subset of an upper set of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐴(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infssuzex

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑎 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 8913	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		infssuzledc.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		infssuzledc.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
4	3	eleq2i 2166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
5	2, 4	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
6		elrabi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluzelz 9185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	znegcld 9027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
11		negeq 7826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = -𝐴 → -𝑚 = --𝐴)
12	11	eleq1d 2168	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = -𝐴 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ --𝐴 ∈ 𝑆))
13	9	zcnd 9026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 7935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
15	14, 2	eqeltrd 2176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → --𝐴 ∈ 𝑆)
16		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ≤ -𝑚)
17	9	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	zred 9025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		eluzelz 9185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
20	19	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℤ)
21	20	zred 9025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑚 ∈ ℝ)
22		eluzle 9188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → -𝐴 ≤ 𝑚)
23	22	adantl 273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝐴 ≤ 𝑚)
24	18, 21, 23	lenegcon1d 8155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝑚 ≤ 𝐴)
25	24	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ≤ 𝐴)
26	16, 25	jca 302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴))
27	20	znegcld 9027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → -𝑚 ∈ ℤ)
28	27	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ ℤ)
29		infssuzledc.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
30	29	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
31	9	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		elfz 9637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴)))
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) ↔ (𝑀 ≤ -𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐴)))
34	26, 33	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (𝑀...𝐴))
35		infssuzledc.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
36	35	ralrimiva 2464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
37	36	ad2antrr 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓)
38		nfsbc1v 2880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛[-𝑚 / 𝑛]𝜓
39	38	nfdc 1605	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓
40		sbceq1a 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝜓 ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
41	40	dcbid 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (DECID 𝜓 ↔ DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
42	39, 41	rspc 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)DECID 𝜓 → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
43	34, 37, 42	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓)
44	3	eleq2i 2166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ -𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓})
45		elfzuz 9643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑚 ∈ (𝑀...𝐴) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46	34, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47	46	biantrurd 301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → ([-𝑚 / 𝑛]𝜓 ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓)))
48		nfcv 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(ℤ≥‘𝑀)
49	48	elrabsf 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ↔ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
50	47, 49	syl6rbbr 198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
51	44, 50	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
52	51	dcbid 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → (DECID -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ DECID [-𝑚 / 𝑛]𝜓))
53	43, 52	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
54		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ 𝑀 ≤ -𝑚)
55		elrabi 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56		eluzle 9188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ -𝑚)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑚 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑀 ≤ -𝑚)
58	57, 3	eleq2s 2194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 → 𝑀 ≤ -𝑚)
59	54, 58	nsyl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
60	59	olcd 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → (-𝑚 ∈ 𝑆 ∨ ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
61		df-dc 787	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ (-𝑚 ∈ 𝑆 ∨ ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
62	60, 61	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) ∧ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
63	29	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
64		zdcle 8979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑚 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
65	63, 27, 64	syl2anc 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → DECID 𝑀 ≤ -𝑚)
66		exmiddc 788	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ -𝑚 → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
67	65, 66	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → (𝑀 ≤ -𝑚 ∨ ¬ 𝑀 ≤ -𝑚))
68	53, 62, 67	mpjaodan 753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)) → DECID -𝑚 ∈ 𝑆)
69		eluzle 9188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐴)
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐴)
71	29	zred 9025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
72	9	zred 9025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
73	71, 72	lenegd 8152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
74	70, 73	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≤ -𝑀)
75	29	znegcld 9027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
76		eluz 9189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
77	10, 75, 76	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ↔ -𝐴 ≤ -𝑀))
78	74, 77	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
79		peano2uz 9228	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝐴) → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴))
81	71	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
82	81	renegcld 8009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 ∈ ℝ)
83		peano2re 7769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑀 ∈ ℝ → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ∈ ℝ)
85		eluzelz 9185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
86	85	ad2antlr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ ℤ)
87	86	zred 9025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ ℝ)
88		eluzle 9188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
89	88	ad2antlr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ 𝑚)
90	55, 3	eleq2s 2194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑚 ∈ 𝑆 → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91	90	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	91, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
93	92	adantlr 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑀 ≤ -𝑚)
94	81, 87, 93	lenegcon2d 8156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ≤ -𝑀)
95	84, 87, 82, 89, 94	letrd 7757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀)
96	75	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 ∈ ℤ)
97		zltp1le 8960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
98	96, 96, 97	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → (-𝑀 < -𝑀 ↔ (-𝑀 + 1) ≤ -𝑀))
99	95, 98	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → -𝑀 < -𝑀)
100	82	ltnrd 7746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) ∧ -𝑚 ∈ 𝑆) → ¬ -𝑀 < -𝑀)
101	99, 100	pm2.65da 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1))) → ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
102	101	ralrimiva 2464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
103		fveq2 5353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)))
104	103	raleqdv 2590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (-𝑀 + 1) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆))
105	104	rspcev 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘-𝐴) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘(-𝑀 + 1)) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
106	80, 102, 105	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘-𝐴)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ -𝑚 ∈ 𝑆)
107	10, 12, 15, 68, 106	zsupcllemex 11434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
108		zre 8910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
109	108	anim1i 336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
110		elrabi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝑏 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → -𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
111	110, 3	eleq2s 2194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ 𝑆 → -𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
112		eluzelz 9185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → -𝑏 ∈ ℤ)
113	111, 112	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑏 ∈ 𝑆 → -𝑏 ∈ ℤ)
114	113	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → -𝑏 ∈ ℤ)
115		recn 7625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
116		znegclb 8939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
117	115, 116	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
118	117	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ -𝑏 ∈ ℤ))
119	114, 118	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℤ)
120		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → -𝑏 ∈ 𝑆)
121	119, 120	jca 302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
122	109, 121	impbii 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆) ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
123		negeq 7826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑏 → -𝑚 = -𝑏)
124	123	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑏 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ -𝑏 ∈ 𝑆))
125	124	elrab 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
126	124	elrab 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ 𝑆))
127	122, 125, 126	3bitr4i 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆})
128	127	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ 𝑏 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
129	128	eqrdv 2098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} = {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆})
130	129	raleqdv 2590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦))
131	129	rexeqdv 2591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))
132	131	imbi2d 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
133	132	ralbidv 2396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
134	130, 133	anbi12d 460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
135	134	rexbidv 2397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
136	107, 135	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
137		ssrexv 3109	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧))))
138	1, 136, 137	mpsyl 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}𝑦 < 𝑧)))
139		ssrab2 3129	. . . 4 ⊢ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ⊆ ℝ
140	139	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ⊆ ℝ)
141	138, 140	supinfneg 9240	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)))
142		elrabi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} → 𝑎 ∈ ℝ)
143		elrabi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
144	143, 3	eleq2s 2194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145		eluzelre 9186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑎 ∈ ℝ)
146	144, 145	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
147		negeq 7826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → -𝑤 = -𝑎)
148	147	eleq1d 2168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (-𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
149	148	elrab3 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ -𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}))
150		renegcl 7894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
151	150	biantrurd 301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝑆)))
152		negeq 7826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = -𝑎 → -𝑚 = --𝑎)
153	152	eleq1d 2168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = -𝑎 → (-𝑚 ∈ 𝑆 ↔ --𝑎 ∈ 𝑆))
154	153	elrab 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝑆))
155	151, 154	syl6rbbr 198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆} ↔ --𝑎 ∈ 𝑆))
156		recn 7625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
157	156	negnegd 7935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
158	157	eleq1d 2168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (--𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ 𝑆))
159	149, 155, 158	3bitrd 213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ 𝑎 ∈ 𝑆))
160	142, 146, 159	pm5.21nii 661	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ↔ 𝑎 ∈ 𝑆)
161	160	eqriv 2097	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} = 𝑆
162	161	raleqi 2588	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
163	161	rexeqi 2589	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)
164	163	imbi2i 225	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
165	164	ralbii 2400	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
166	162, 165	anbi12i 451	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
167	166	rexbii 2401	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑚 ∈ ℝ ∣ -𝑚 ∈ 𝑆}}𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
168	141, 167	sylib 121	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 670  DECID wdc 786   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376  {crab 2379  [wsbc 2862   ⊆ wss 3021   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  ℝcr 7499  1c1 7501   + caddc 7503   < clt 7672   ≤ cle 7673  -cneg 7805  ℤcz 8906  ℤ_≥cuz 9176  ...cfz 9631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-fzo 9761

This theorem is referenced by:  infssuzledc  11438  infssuzcldc  11439