Theorem raleqdv 2699

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
raleqdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		raleq 2693	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raleqtrdv  2701  raleqtrrdv  2703  raleqbidv  2709  raleqbidva  2711  omsinds  4659  cbvfo  5835  isoselem  5870  ofrfval  6148  issmo2  6356  smoeq  6357  tfrlemisucaccv  6392  tfr1onlemsucaccv  6408  tfrcllemsucaccv  6421  nninfisollem0  7205  isacnm  7288  fzrevral2  10200  fzrevral3  10201  fzshftral  10202  fzoshftral  10333  zsupcllemstep  10338  zsupcllemex  10339  infssuzex  10342  suprzubdc  10345  nninfdcex  10346  uzsinds  10555  iseqf1olemqk  10618  seq3f1olemstep  10625  seq3f1olemp  10626  caucvgre  11165  cvg1nlemres  11169  rexuz3  11174  resqrexlemoverl  11205  resqrexlemsqa  11208  resqrexlemex  11209  climconst  11474  climshftlemg  11486  serf0  11536  summodclem2  11566  summodc  11567  zsumdc  11568  mertenslemi1  11719  prodmodclem2  11761  prodmodc  11762  zproddc  11763  prmind2  12315  ennnfoneleminc  12655  ennnfonelemex  12658  ennnfonelemnn0  12666  ennnfonelemr  12667  grpidpropdg  13078  sgrppropd  13117  mndpropd  13144  nmznsg  13421  ghmnsgima  13476  cmnpropd  13503  rngpropd  13589  ringpropd  13672  lsspropdg  14065  isridlrng  14116  mplvalcoe  14324  lmfval  14536  lmconst  14560  cncnp  14574  metss  14838  sin0pilem2  15126  fsumdvdsmul  15335  2sqlem10  15474  nninfsellemdc  15765  nninfself  15768  nninfsellemeqinf  15771  nninfomni  15774