Theorem raleqdv 2755

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
raleqdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		raleq 2749	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∀wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is referenced by:  raleqtrdv  2757  raleqtrrdv  2759  raleqbidv  2765  raleqbidva  2767  omsinds  4764  cbvfo  5981  isoselem  6016  ofrfval  6301  issmo2  6550  smoeq  6551  tfrlemisucaccv  6586  tfr1onlemsucaccv  6602  tfrcllemsucaccv  6615  nninfisollem0  7460  isacnm  7549  fzrevral2  10491  fzrevral3  10492  fzshftral  10493  fzoshftral  10635  zsupcllemstep  10640  zsupcllemex  10641  infssuzex  10644  suprzubdc  10649  nninfdcex  10650  uzsinds  10859  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemstep  10929  seq3f1olemp  10930  eqs1  11374  swrdspsleq  11417  pfxeq  11446  pfxsuffeqwrdeq  11448  caucvgre  11725  cvg1nlemres  11729  rexuz3  11734  resqrexlemoverl  11765  resqrexlemsqa  11768  resqrexlemex  11769  climconst  12034  climshftlemg  12046  serf0  12096  summodclem2  12127  summodc  12128  zsumdc  12129  mertenslemi1  12280  prodmodclem2  12322  prodmodc  12323  zproddc  12324  prmind2  12876  ennnfoneleminc  13280  ennnfonelemex  13283  ennnfonelemnn0  13291  ennnfonelemr  13292  grpidpropdg  13671  sgrppropd  13705  mndpropd  13730  nmznsg  13993  ghmnsgima  14048  cmnpropd  14075  rngpropd  14229  ringpropd  14316  lsspropdg  14740  isridlrng  14791  mplvalcoe  15004  lmfval  15217  lmconst  15240  cncnp  15254  metss  15518  sin0pilem2  15806  fsumdvdsmul  16019  2sqlem10  16158  usgruspgrben  16341  wlkeq  16509  wlkl1loop  16513  uspgr2wlkeq  16520  upgr2wlkdc  16532  clwwlkccatlem  16555  clwwlknp  16572  clwwlkn1  16573  clwwlkn2  16576  nninfsellemdc  16958  nninfself  16961  nninfsellemeqinf  16964  nninfomni  16967