Theorem raleqdv 2561

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
raleqdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		raleq 2555	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1285  ∀wral 2353

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358

This theorem is referenced by:  raleqbidv  2567  raleqbidva  2569  omsinds  4398  cbvfo  5504  isoselem  5538  ofrfval  5799  issmo2  5986  smoeq  5987  tfrlemisucaccv  6022  tfr1onlemsucaccv  6038  tfrcllemsucaccv  6051  fzrevral2  9413  fzrevral3  9414  fzshftral  9415  fzoshftral  9538  uzsinds  9737  caucvgre  10241  cvg1nlemres  10245  rexuz3  10250  resqrexlemoverl  10281  resqrexlemsqa  10284  resqrexlemex  10285  climconst  10503  climshftlemg  10515  serif0  10563  zsupcllemstep  10721  zsupcllemex  10722  infssuzex  10725  prmind2  10882