Theorem raleqdv 2699

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
raleqdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		raleq 2693	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raleqtrdv  2701  raleqtrrdv  2703  raleqbidv  2709  raleqbidva  2711  omsinds  4658  cbvfo  5832  isoselem  5867  ofrfval  6144  issmo2  6347  smoeq  6348  tfrlemisucaccv  6383  tfr1onlemsucaccv  6399  tfrcllemsucaccv  6412  nninfisollem0  7196  fzrevral2  10181  fzrevral3  10182  fzshftral  10183  fzoshftral  10314  zsupcllemstep  10319  zsupcllemex  10320  infssuzex  10323  suprzubdc  10326  nninfdcex  10327  uzsinds  10536  iseqf1olemqk  10599  seq3f1olemstep  10606  seq3f1olemp  10607  caucvgre  11146  cvg1nlemres  11150  rexuz3  11155  resqrexlemoverl  11186  resqrexlemsqa  11189  resqrexlemex  11190  climconst  11455  climshftlemg  11467  serf0  11517  summodclem2  11547  summodc  11548  zsumdc  11549  mertenslemi1  11700  prodmodclem2  11742  prodmodc  11743  zproddc  11744  prmind2  12288  ennnfoneleminc  12628  ennnfonelemex  12631  ennnfonelemnn0  12639  ennnfonelemr  12640  grpidpropdg  13017  sgrppropd  13056  mndpropd  13081  nmznsg  13343  ghmnsgima  13398  cmnpropd  13425  rngpropd  13511  ringpropd  13594  lsspropdg  13987  isridlrng  14038  lmfval  14428  lmconst  14452  cncnp  14466  metss  14730  sin0pilem2  15018  fsumdvdsmul  15227  2sqlem10  15366  nninfsellemdc  15654  nninfself  15657  nninfsellemeqinf  15660  nninfomni  15663