Theorem raleqdv 2699

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
raleqdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		raleq 2693	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  raleqtrdv  2701  raleqtrrdv  2703  raleqbidv  2709  raleqbidva  2711  omsinds  4659  cbvfo  5835  isoselem  5870  ofrfval  6148  issmo2  6356  smoeq  6357  tfrlemisucaccv  6392  tfr1onlemsucaccv  6408  tfrcllemsucaccv  6421  nninfisollem0  7205  isacnm  7286  fzrevral2  10198  fzrevral3  10199  fzshftral  10200  fzoshftral  10331  zsupcllemstep  10336  zsupcllemex  10337  infssuzex  10340  suprzubdc  10343  nninfdcex  10344  uzsinds  10553  iseqf1olemqk  10616  seq3f1olemstep  10623  seq3f1olemp  10624  caucvgre  11163  cvg1nlemres  11167  rexuz3  11172  resqrexlemoverl  11203  resqrexlemsqa  11206  resqrexlemex  11207  climconst  11472  climshftlemg  11484  serf0  11534  summodclem2  11564  summodc  11565  zsumdc  11566  mertenslemi1  11717  prodmodclem2  11759  prodmodc  11760  zproddc  11761  prmind2  12313  ennnfoneleminc  12653  ennnfonelemex  12656  ennnfonelemnn0  12664  ennnfonelemr  12665  grpidpropdg  13076  sgrppropd  13115  mndpropd  13142  nmznsg  13419  ghmnsgima  13474  cmnpropd  13501  rngpropd  13587  ringpropd  13670  lsspropdg  14063  isridlrng  14114  lmfval  14512  lmconst  14536  cncnp  14550  metss  14814  sin0pilem2  15102  fsumdvdsmul  15311  2sqlem10  15450  nninfsellemdc  15741  nninfself  15744  nninfsellemeqinf  15747  nninfomni  15750