Theorem raleqdv 2630

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
raleqdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem raleqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		raleq 2624	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∀wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419

This theorem is referenced by:  raleqbidv  2636  raleqbidva  2638  omsinds  4530  cbvfo  5679  isoselem  5714  ofrfval  5983  issmo2  6179  smoeq  6180  tfrlemisucaccv  6215  tfr1onlemsucaccv  6231  tfrcllemsucaccv  6244  fzrevral2  9879  fzrevral3  9880  fzshftral  9881  fzoshftral  10008  uzsinds  10208  iseqf1olemqk  10260  seq3f1olemstep  10267  seq3f1olemp  10268  caucvgre  10746  cvg1nlemres  10750  rexuz3  10755  resqrexlemoverl  10786  resqrexlemsqa  10789  resqrexlemex  10790  climconst  11052  climshftlemg  11064  serf0  11114  summodclem2  11144  summodc  11145  zsumdc  11146  mertenslemi1  11297  zsupcllemstep  11627  zsupcllemex  11628  infssuzex  11631  prmind2  11790  ennnfoneleminc  11913  ennnfonelemex  11916  ennnfonelemnn0  11924  ennnfonelemr  11925  lmfval  12350  lmconst  12374  cncnp  12388  metss  12652  sin0pilem2  12852  nninfsellemdc  13195  nninfself  13198  nninfsellemeqinf  13201  nninfomni  13204