ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemrnh GIF version

Theorem ennnfonelemrnh 12411
Description: Lemma for ennnfone 12420. A consequence of ennnfonelemss 12405. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemrnh.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐻)
ennnfonelemrnh.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐻)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemrnh (𝜑 → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemh 12399 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(𝐴pm ω))
98ffund 5369 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐻)
10 ennnfonelemrnh.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐻)
11 elrnrexdm 5655 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝑋 ∈ ran 𝐻 → ∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠)))
129, 10, 11sylc 62 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠))
138fdmd 5372 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐻 = ℕ0)
1413rexeqdv 2679 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑋 = (𝐻𝑠)))
1512, 14mpbid 147 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑋 = (𝐻𝑠))
16 ennnfonelemrnh.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐻)
17 elrnrexdm 5655 . . . . . 6 (Fun 𝐻 → (𝑌 ∈ ran 𝐻 → ∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡)))
189, 16, 17sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡))
1913rexeqdv 2679 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡)))
2018, 19mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡))
2120adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) → ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡))
22 simplrl 535 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2322nn0zd 9371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
24 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑡 ∈ ℕ0)
2524nn0zd 9371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
26 zletric 9295 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑠𝑡𝑡𝑠))
2723, 25, 26syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑠𝑡𝑡𝑠))
281ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
292ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝐹:ω–onto𝐴)
303ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
3122adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑠 ∈ ℕ0)
32 simplrl 535 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ ℕ0)
33 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑠𝑡)
3428, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33ennnfoneleminc 12406 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡))
3534ex 115 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑠𝑡 → (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡)))
361ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
372ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐹:ω–onto𝐴)
383ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
39 simplrl 535 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 ∈ ℕ0)
4022adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ0)
41 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡𝑠)
4236, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41ennnfoneleminc 12406 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))
4342ex 115 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑡𝑠 → (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
4435, 43orim12d 786 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝑠𝑡𝑡𝑠) → ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))))
4527, 44mpd 13 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
46 simplrr 536 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑋 = (𝐻𝑠))
47 simprr 531 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑌 = (𝐻𝑡))
4846, 47sseq12d 3186 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑋𝑌 ↔ (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡)))
4947, 46sseq12d 3186 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑌𝑋 ↔ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
5048, 49orbi12d 793 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝑋𝑌𝑌𝑋) ↔ ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))))
5145, 50mpbird 167 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
5221, 51rexlimddv 2599 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
5315, 52rexlimddv 2599 1 (𝜑 → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cun 3127  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592  cop 3595   class class class wbr 4003  cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  ccnv 4625  dom cdm 4626  ran crn 4627  cima 4629  Fun wfun 5210  ontowfo 5214  cfv 5216  (class class class)co 5874  cmpo 5876  freccfrec 6390  pm cpm 6648  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  cle 7991  cmin 8126  0cn0 9174  cz 9251  seqcseq 10442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pm 6650  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443
This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12412  ennnfonelemf1  12413
  Copyright terms: Public domain W3C validator