ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemrnh GIF version

Theorem ennnfonelemrnh 12417
Description: Lemma for ennnfone 12426. A consequence of ennnfonelemss 12411. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemrnh.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐻)
ennnfonelemrnh.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐻)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemrnh (𝜑 → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemh 12405 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(𝐴pm ω))
98ffund 5370 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐻)
10 ennnfonelemrnh.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐻)
11 elrnrexdm 5656 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝑋 ∈ ran 𝐻 → ∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠)))
129, 10, 11sylc 62 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠))
138fdmd 5373 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐻 = ℕ0)
1413rexeqdv 2680 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑋 = (𝐻𝑠)))
1512, 14mpbid 147 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑋 = (𝐻𝑠))
16 ennnfonelemrnh.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐻)
17 elrnrexdm 5656 . . . . . 6 (Fun 𝐻 → (𝑌 ∈ ran 𝐻 → ∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡)))
189, 16, 17sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡))
1913rexeqdv 2680 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡)))
2018, 19mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡))
2120adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) → ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡))
22 simplrl 535 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2322nn0zd 9373 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
24 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑡 ∈ ℕ0)
2524nn0zd 9373 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
26 zletric 9297 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑠𝑡𝑡𝑠))
2723, 25, 26syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑠𝑡𝑡𝑠))
281ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
292ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝐹:ω–onto𝐴)
303ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
3122adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑠 ∈ ℕ0)
32 simplrl 535 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ ℕ0)
33 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑠𝑡)
3428, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33ennnfoneleminc 12412 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡))
3534ex 115 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑠𝑡 → (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡)))
361ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
372ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐹:ω–onto𝐴)
383ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
39 simplrl 535 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 ∈ ℕ0)
4022adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ0)
41 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡𝑠)
4236, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41ennnfoneleminc 12412 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))
4342ex 115 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑡𝑠 → (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
4435, 43orim12d 786 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝑠𝑡𝑡𝑠) → ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))))
4527, 44mpd 13 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
46 simplrr 536 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑋 = (𝐻𝑠))
47 simprr 531 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑌 = (𝐻𝑡))
4846, 47sseq12d 3187 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑋𝑌 ↔ (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡)))
4947, 46sseq12d 3187 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑌𝑋 ↔ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
5048, 49orbi12d 793 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝑋𝑌𝑌𝑋) ↔ ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))))
5145, 50mpbird 167 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
5221, 51rexlimddv 2599 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
5315, 52rexlimddv 2599 1 (𝜑 → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cun 3128  wss 3130  c0 3423  ifcif 3535  {csn 3593  cop 3596   class class class wbr 4004  cmpt 4065  suc csuc 4366  ωcom 4590  ccnv 4626  dom cdm 4627  ran crn 4628  cima 4630  Fun wfun 5211  ontowfo 5215  cfv 5217  (class class class)co 5875  cmpo 5877  freccfrec 6391  pm cpm 6649  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814  cle 7993  cmin 8128  0cn0 9176  cz 9253  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pm 6651  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12418  ennnfonelemf1  12419
  Copyright terms: Public domain W3C validator