Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemrnh GIF version

Theorem ennnfonelemrnh 12128
 Description: Lemma for ennnfone 12137. A consequence of ennnfonelemss 12122. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemrnh.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐻)
ennnfonelemrnh.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐻)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemrnh (𝜑 → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemrnh
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . 6 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . 6 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemh 12116 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(𝐴pm ω))
98ffund 5322 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐻)
10 ennnfonelemrnh.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐻)
11 elrnrexdm 5605 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝑋 ∈ ran 𝐻 → ∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠)))
129, 10, 11sylc 62 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠))
138fdmd 5325 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐻 = ℕ0)
1413rexeqdv 2659 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ dom 𝐻 𝑋 = (𝐻𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑋 = (𝐻𝑠)))
1512, 14mpbid 146 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑋 = (𝐻𝑠))
16 ennnfonelemrnh.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐻)
17 elrnrexdm 5605 . . . . . 6 (Fun 𝐻 → (𝑌 ∈ ran 𝐻 → ∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡)))
189, 16, 17sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡))
1913rexeqdv 2659 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ dom 𝐻 𝑌 = (𝐻𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡)))
2018, 19mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡))
2120adantr 274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) → ∃𝑡 ∈ ℕ0 𝑌 = (𝐻𝑡))
22 simplrl 525 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2322nn0zd 9278 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
24 simprl 521 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑡 ∈ ℕ0)
2524nn0zd 9278 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
26 zletric 9205 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑠𝑡𝑡𝑠))
2723, 25, 26syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑠𝑡𝑡𝑠))
281ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
292ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝐹:ω–onto𝐴)
303ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
3122adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑠 ∈ ℕ0)
32 simplrl 525 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑡 ∈ ℕ0)
33 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → 𝑠𝑡)
3428, 29, 30, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33ennnfoneleminc 12123 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑠𝑡) → (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡))
3534ex 114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑠𝑡 → (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡)))
361ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
372ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐹:ω–onto𝐴)
383ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
39 simplrl 525 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 ∈ ℕ0)
4022adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ0)
41 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡𝑠)
4236, 37, 38, 4, 5, 6, 7, 39, 40, 41ennnfoneleminc 12123 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) ∧ 𝑡𝑠) → (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))
4342ex 114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑡𝑠 → (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
4435, 43orim12d 776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝑠𝑡𝑡𝑠) → ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))))
4527, 44mpd 13 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
46 simplrr 526 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑋 = (𝐻𝑠))
47 simprr 522 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → 𝑌 = (𝐻𝑡))
4846, 47sseq12d 3159 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑋𝑌 ↔ (𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡)))
4947, 46sseq12d 3159 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑌𝑋 ↔ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠)))
5048, 49orbi12d 783 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → ((𝑋𝑌𝑌𝑋) ↔ ((𝐻𝑠) ⊆ (𝐻𝑡) ∨ (𝐻𝑡) ⊆ (𝐻𝑠))))
5145, 50mpbird 166 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0𝑌 = (𝐻𝑡))) → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
5221, 51rexlimddv 2579 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑋 = (𝐻𝑠))) → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
5315, 52rexlimddv 2579 1 (𝜑 → (𝑋𝑌𝑌𝑋))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  ∃wrex 2436   ∪ cun 3100   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  ifcif 3505  {csn 3560  ⟨cop 3563   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025  suc csuc 4325  ωcom 4548  ◡ccnv 4584  dom cdm 4585  ran crn 4586   “ cima 4588  Fun wfun 5163  –onto→wfo 5167  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821   ∈ cmpo 5823  freccfrec 6334   ↑pm cpm 6591  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   ≤ cle 7907   − cmin 8040  ℕ0cn0 9084  ℤcz 9161  seqcseq 10337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pm 6593  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338 This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12129  ennnfonelemf1  12130
 Copyright terms: Public domain W3C validator