Theorem nninfdcex 11882

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdcex.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdcex.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2226	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1906	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		1zzd 9214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
6		eqid 2165	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
8		nnuz 9497	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	sseqtrdi 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1))
10		dfss5 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ↔ 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
11	9, 10	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
12		dfin5 3122	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
14	13	eleq2d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}))
15	14	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
16		eleq1w 2226	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ 𝐴))
17	16	dcbid 828	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑝 ∈ 𝐴))
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		elfznn 9985	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑎) → 𝑝 ∈ ℕ)
21	20	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → 𝑝 ∈ ℕ)
22	17, 19, 21	rspcdva 2834	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → DECID 𝑝 ∈ 𝐴)
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 11878	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
24	13	raleqdv 2666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥))
25	13	rexeqdv 2667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
26	25	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
27	26	ralbidv 2465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
28	24, 27	anbi12d 465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
29	28	rexbidv 2466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
30	29	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
31	23, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	4, 31	exlimddv 1886	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2443  ∃wrex 2444  {crab 2447   ∩ cin 3114   ⊆ wss 3115   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  ℝcr 7748  1c1 7750   < clt 7929  ℕcn 8853  ℤ_≥cuz 9462  ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12379