Theorem nninfdcex 11853

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdcex.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdcex.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2218	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1898	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		1zzd 9200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
6		eqid 2157	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
8		nnuz 9480	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	sseqtrdi 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1))
10		dfss5 3313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ↔ 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
11	9, 10	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
12		dfin5 3109	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
14	13	eleq2d 2227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}))
15	14	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
16		eleq1w 2218	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ 𝐴))
17	16	dcbid 824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑝 ∈ 𝐴))
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		elfznn 9963	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑎) → 𝑝 ∈ ℕ)
21	20	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → 𝑝 ∈ ℕ)
22	17, 19, 21	rspcdva 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → DECID 𝑝 ∈ 𝐴)
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 11849	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
24	13	raleqdv 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥))
25	13	rexeqdv 2659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
26	25	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
27	26	ralbidv 2457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
28	24, 27	anbi12d 465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
29	28	rexbidv 2458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
30	29	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
31	23, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	4, 31	exlimddv 1878	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  {crab 2439   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3967  ‘cfv 5173  (class class class)co 5827  ℝcr 7734  1c1 7736   < clt 7915  ℕcn 8839  ℤ_≥cuz 9445  ...cfz 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920  df-fzo 10052

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12277