Theorem nninfdcex 10650

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdcex.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdcex.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2299	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1974	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		1zzd 9650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
8		nnuz 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	sseqtrdi 3296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1))
10		dfss5 3436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ↔ 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
12		dfin5 3227	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
14	13	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}))
15	14	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
16		eleq1w 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ 𝐴))
17	16	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑝 ∈ 𝐴))
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		elfznn 10438	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑎) → 𝑝 ∈ ℕ)
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → 𝑝 ∈ ℕ)
22	17, 19, 21	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → DECID 𝑝 ∈ 𝐴)
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 10644	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
24	13	raleqdv 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥))
25	13	rexeqdv 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
26	25	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
27	26	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
28	24, 27	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
29	28	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
31	23, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	4, 31	exlimddv 1954	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  1c1 8170   < clt 8350  ℕcn 9283  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13319