Theorem nninfdcex 10543

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdcex.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdcex.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2292	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1967	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		1zzd 9550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
6		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
8		nnuz 9836	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	sseqtrdi 3276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1))
10		dfss5 3414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ↔ 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
12		dfin5 3208	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
14	13	eleq2d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}))
15	14	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
16		eleq1w 2292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ 𝐴))
17	16	dcbid 846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑝 ∈ 𝐴))
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		elfznn 10334	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑎) → 𝑝 ∈ ℕ)
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → 𝑝 ∈ ℕ)
22	17, 19, 21	rspcdva 2916	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → DECID 𝑝 ∈ 𝐴)
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 10539	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
24	13	raleqdv 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥))
25	13	rexeqdv 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
26	25	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
27	26	ralbidv 2533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
28	24, 27	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
29	28	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
31	23, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	4, 31	exlimddv 1947	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  {crab 2515   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   < clt 8256  ℕcn 9185  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13134