Theorem nninfdcex 11908

Description: A decidable set of natural numbers has an infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdcex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdcex.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdcex.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdcex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem nninfdcex

Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdcex.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2231	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1911	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		1zzd 9239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
6		eqid 2170	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
7		nninfdcex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
8		nnuz 9522	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	sseqtrdi 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1))
10		dfss5 3332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘1) ↔ 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
11	9, 10	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴))
12		dfin5 3128	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘1) ∩ 𝐴) = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}
13	11, 12	eqtrdi 2219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
14	13	eleq2d 2240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}))
15	14	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴})
16		eleq1w 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑝 ∈ 𝐴))
17	16	dcbid 833	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑝 ∈ 𝐴))
18		nninfdcex.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
19	18	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		elfznn 10010	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑎) → 𝑝 ∈ ℕ)
21	20	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → 𝑝 ∈ ℕ)
22	17, 19, 21	rspcdva 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑎)) → DECID 𝑝 ∈ 𝐴)
23	5, 6, 15, 22	infssuzex 11904	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
24	13	raleqdv 2671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥))
25	13	rexeqdv 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
26	25	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
27	26	ralbidv 2470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
28	24, 27	anbi12d 470	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
29	28	rexbidv 2471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
30	29	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑝 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
31	23, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	4, 31	exlimddv 1891	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  1c1 7775   < clt 7954  ℕcn 8878  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12405