ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplit GIF version

Theorem fzosplit 10160
Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplit (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzosplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
2 elfzelz 10008 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ ℤ)
32adantr 276 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
4 fzospliti 10159 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
51, 3, 4syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
6 elun 3276 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
75, 6sylibr 134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
87ex 115 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶))))
98ssrdv 3161 . 2 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
10 elfzuz3 10005 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐷))
11 fzoss2 10155 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐷) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
1210, 11syl 14 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
13 elfzuz 10004 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
14 fzoss1 10154 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
1513, 14syl 14 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
1612, 15unssd 3311 . 2 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ⊆ (𝐵..^𝐶))
179, 16eqssd 3172 1 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127  wss 3129  cfv 5212  (class class class)co 5869  cz 9239  cuz 9514  ...cfz 9992  ..^cfzo 10125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993  df-fzo 10126
This theorem is referenced by:  fzosplitsnm1  10192  fzo0to42pr  10203  fzo0sn0fzo1  10204  fzosplitsn  10216
  Copyright terms: Public domain W3C validator