Theorem fsumcncntop 15361

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
fsumcncntop.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcncntop.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcncntop.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11978	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 4185	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2300	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		sumeq1 11978	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
5	4	mpteq2dv 4185	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
6	5	eleq1d 2300	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		sumeq1 11978	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8	7	mpteq2dv 4185	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
9	8	eleq1d 2300	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		sumeq1 11978	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 4185	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2300	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		sum0 12012	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
14	13	mpteq2i 4181	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
15		fsumcncntop.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	cntoptopon 15326	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		0cnd 8215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20	15, 18, 19	cnmptc 15076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	14, 20	eqeltrid 2318	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22		simplrr 538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
23	22	eldifbd 3213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
24		disjsn 3735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
26		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
27		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
28		unsnfi 7154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
30		simp-4l 543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
31		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32	22	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐴)
33	32	snssd 3823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
34	31, 33	unssd 3385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
35	34	sselda 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
39		fsumcncntop.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40		cnf2 14999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
42		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
43	42	fmpt 5805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
45		rsp 2580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 12031	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
50		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ ℂ))
53	52	ralrimiv 2605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
55		nfcsb1v 3161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
56	55	nfel1 2386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
57		csbeq1a 3137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
58	57	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
59	56, 58	rspc 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
61		sumsns 12039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
63	62	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
64	49, 63	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	mpteq2dva 4184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
66	65	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
67		nfcv 2375	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
68		nfcv 2375	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
69		nfcsb1v 3161	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
70	68, 69	nfsum 11980	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
71		nfcv 2375	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 +
72		nfcv 2375	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
73	72, 69	nfcsb 3166	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
74	70, 71, 73	nfov 6058	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
75		csbeq1a 3137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	sumeq2ad 11992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
77	75	csbeq2dv 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
78	76, 77	oveq12d 6046	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
79	67, 74, 78	cbvmpt 4189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
80	66, 79	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)))
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
82		nfcv 2375	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵
83	82, 70, 76	cbvmpt 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
84		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85	83, 84	eqeltrrid 2319	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86		nfcv 2375	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
87	86, 73, 77	cbvmpt 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
88		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
89	88	eldifad 3212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
91	39	ralrimiva 2606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93		nfcv 2375	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
94	93, 55	nfmpt 4186	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
95	94	nfel1 2386	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
96	57	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
97	96	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
98	95, 97	rspc 2905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
100	87, 99	eqeltrrid 2319	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
101	16	addcncntop 15356	. . . . . 6 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
102	101	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 15080	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104	80, 103	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105	104	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106		fsumcncntop.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 7124	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ⦋csb 3128   ∖ cdif 3198   ∪ cun 3199   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673   ↦ cmpt 4155   ∘ ccom 4735  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  ℂcc 8073  0cc0 8075   + caddc 8078   − cmin 8392  abscabs 11620  Σcsu 11976  MetOpencmopn 14620  TopOnctopon 14804   Cn ccn 14979   ×_t ctx 15046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047

This theorem is referenced by:  fsumcn  15362