ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumcncntop GIF version

Theorem fsumcncntop 12620
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcncntop.3 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcncntop (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncntop
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11064 . . . 4 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21mpteq2dv 3987 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
32eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 sumeq1 11064 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
54mpteq2dv 3987 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
65eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 sumeq1 11064 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
87mpteq2dv 3987 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
98eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 sumeq1 11064 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1110mpteq2dv 3987 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1211eleq1d 2184 . 2 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 sum0 11097 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
1413mpteq2i 3983 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
15 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 fsumcncntop.3 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1716cntoptopon 12596 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1817a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19 0cnd 7723 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2015, 18, 19cnmptc 12346 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2114, 20eqeltrid 2202 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 simplrr 508 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2322eldifbd 3051 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ 𝑧𝑦)
24 disjsn 3553 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2523, 24sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
26 eqidd 2116 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
27 simpllr 506 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
28 unsnfi 6773 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
2927, 22, 23, 28syl3anc 1199 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
30 simp-4l 513 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
31 simplrl 507 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦𝐴)
3222eldifad 3050 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑧𝐴)
3332snssd 3633 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3431, 33unssd 3220 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3534sselda 3065 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
36 simplr 502 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥𝑋)
3715adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
39 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40 cnf2 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
42 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
4342fmpt 5536 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
4441, 43sylibr 133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
45 rsp 2455 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
4746imp 123 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
4830, 35, 36, 47syl21anc 1198 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4925, 26, 29, 48fsumsplit 11116 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
50 simplll 505 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝜑)
51 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5246impancom 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
5352ralrimiv 2479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5450, 51, 53syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
55 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
5655nfel1 2267 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
57 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5857eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5956, 58rspc 2755 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
6032, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
61 sumsns 11124 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
6222, 60, 61syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
6362oveq2d 5756 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
6449, 63eqtrd 2148 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
6564mpteq2dva 3986 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
6665adantr 272 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
67 nfcv 2256 . . . . . 6 𝑤𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)
68 nfcv 2256 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
69 nfcsb1v 3003 . . . . . . . 8 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
7068, 69nfsum 11066 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵
71 nfcv 2256 . . . . . . 7 𝑥 +
72 nfcv 2256 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
7372, 69nfcsb 3005 . . . . . . 7 𝑥𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
7470, 71, 73nfov 5767 . . . . . 6 𝑥𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
75 csbeq1a 2981 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
7675sumeq2ad 11078 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
7775csbeq2dv 2996 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
7876, 77oveq12d 5758 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
7967, 74, 78cbvmpt 3991 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
8066, 79syl6eq 2164 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
8115ad3antrrr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
82 nfcv 2256 . . . . . . 7 𝑤Σ𝑘𝑦 𝐵
8382, 70, 76cbvmpt 3991 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
84 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8583, 84eqeltrrid 2203 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86 nfcv 2256 . . . . . . 7 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵
8786, 73, 77cbvmpt 3991 . . . . . 6 (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
88 simprr 504 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
8988eldifad 3050 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
9089adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧𝐴)
9139ralrimiva 2480 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9291ad3antrrr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93 nfcv 2256 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑋
9493, 55nfmpt 3988 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵)
9594nfel1 2267 . . . . . . . 8 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9657mpteq2dv 3987 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵))
9796eleq1d 2184 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
9895, 97rspc 2755 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
9990, 92, 98sylc 62 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10087, 99eqeltrrid 2203 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10116addcncntop 12616 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
102101a1i 9 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
10381, 85, 100, 102cnmpt12f 12350 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10480, 103eqeltrd 2192 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105104ex 114 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106 fsumcn.5 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1073, 6, 9, 12, 21, 105, 106findcard2sd 6752 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  csb 2973  cdif 3036  cun 3037  cin 3038  wss 3039  c0 3331  {csn 3495  cmpt 3957  ccom 4511  wf 5087  cfv 5091  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587  cmin 7897  abscabs 10709  Σcsu 11062  MetOpencmopn 12049  TopOnctopon 12072   Cn ccn 12249   ×t ctx 12316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704  ax-addf 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-map 6510  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-xneg 9499  df-xadd 9500  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063  df-topgen 12036  df-psmet 12051  df-xmet 12052  df-met 12053  df-bl 12054  df-mopn 12055  df-top 12060  df-topon 12073  df-bases 12105  df-cn 12252  df-cnp 12253  df-tx 12317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator