ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumcncntop GIF version

Theorem fsumcncntop 13949
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcncntop.3 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcncntop (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncntop
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11358 . . . 4 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21mpteq2dv 4094 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
32eleq1d 2246 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 sumeq1 11358 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
54mpteq2dv 4094 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
65eleq1d 2246 . 2 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 sumeq1 11358 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
87mpteq2dv 4094 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
98eleq1d 2246 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 sumeq1 11358 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1110mpteq2dv 4094 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1211eleq1d 2246 . 2 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 sum0 11391 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
1413mpteq2i 4090 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
15 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 fsumcncntop.3 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1716cntoptopon 13925 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1817a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19 0cnd 7949 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2015, 18, 19cnmptc 13675 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2114, 20eqeltrid 2264 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
2322eldifbd 3141 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ 𝑧𝑦)
24 disjsn 3654 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
26 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
27 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
28 unsnfi 6917 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
2927, 22, 23, 28syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
30 simp-4l 541 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
31 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦𝐴)
3222eldifad 3140 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑧𝐴)
3332snssd 3737 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3431, 33unssd 3311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3534sselda 3155 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
36 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥𝑋)
3715adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
39 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40 cnf2 13598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
42 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
4342fmpt 5666 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
4441, 43sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
45 rsp 2524 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
4746imp 124 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
4830, 35, 36, 47syl21anc 1237 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4925, 26, 29, 48fsumsplit 11410 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
50 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝜑)
51 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5246impancom 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
5352ralrimiv 2549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5450, 51, 53syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
55 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
5655nfel1 2330 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
57 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5857eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5956, 58rspc 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
6032, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
61 sumsns 11418 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
6222, 60, 61syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
6362oveq2d 5890 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
6449, 63eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
6564mpteq2dva 4093 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
6665adantr 276 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
67 nfcv 2319 . . . . . 6 𝑤𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)
68 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
69 nfcsb1v 3090 . . . . . . . 8 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
7068, 69nfsum 11360 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵
71 nfcv 2319 . . . . . . 7 𝑥 +
72 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
7372, 69nfcsb 3094 . . . . . . 7 𝑥𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
7470, 71, 73nfov 5904 . . . . . 6 𝑥𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
75 csbeq1a 3066 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
7675sumeq2ad 11372 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
7775csbeq2dv 3083 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
7876, 77oveq12d 5892 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
7967, 74, 78cbvmpt 4098 . . . . 5 (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
8066, 79eqtrdi 2226 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
8115ad3antrrr 492 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
82 nfcv 2319 . . . . . . 7 𝑤Σ𝑘𝑦 𝐵
8382, 70, 76cbvmpt 4098 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
84 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8583, 84eqeltrrid 2265 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86 nfcv 2319 . . . . . . 7 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵
8786, 73, 77cbvmpt 4098 . . . . . 6 (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
88 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
8988eldifad 3140 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
9089adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧𝐴)
9139ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9291ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑋
9493, 55nfmpt 4095 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵)
9594nfel1 2330 . . . . . . . 8 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9657mpteq2dv 4094 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵))
9796eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
9895, 97rspc 2835 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
9990, 92, 98sylc 62 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10087, 99eqeltrrid 2265 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10116addcncntop 13945 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
102101a1i 9 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
10381, 85, 100, 102cnmpt12f 13679 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10480, 103eqeltrd 2254 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105104ex 115 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106 fsumcn.5 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1073, 6, 9, 12, 21, 105, 106findcard2sd 6891 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  csb 3057  cdif 3126  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3592  cmpt 4064  ccom 4630  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  cc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813  cmin 8126  abscabs 11001  Σcsu 11356  MetOpencmopn 13336  TopOnctopon 13401   Cn ccn 13578   ×t ctx 13645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-tx 13646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator