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Theorem fsumcncntop 14059
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐡 normally contains free variables π‘˜ and π‘₯ to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcncntop.3 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
fsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fsumcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcncntop (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem fsumcncntop
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11363 . . . 4 (𝑀 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
21mpteq2dv 4095 . . 3 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡))
32eleq1d 2246 . 2 (𝑀 = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4 sumeq1 11363 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡)
54mpteq2dv 4095 . . 3 (𝑀 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡))
65eleq1d 2246 . 2 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7 sumeq1 11363 . . . 4 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡)
87mpteq2dv 4095 . . 3 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡))
98eleq1d 2246 . 2 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10 sumeq1 11363 . . . 4 (𝑀 = 𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
1110mpteq2dv 4095 . . 3 (𝑀 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
1211eleq1d 2246 . 2 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13 sum0 11396 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
1413mpteq2i 4091 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
15 fsumcn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 fsumcncntop.3 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1716cntoptopon 14035 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1817a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 0cnd 7950 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
2015, 18, 19cnmptc 13785 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2114, 20eqeltrid 2264 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))
2322eldifbd 3142 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
24 disjsn 3655 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∩ {𝑧}) = βˆ…)
26 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
27 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
28 unsnfi 6918 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∈ Fin)
2927, 22, 23, 28syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∈ Fin)
30 simp-4l 541 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ πœ‘)
31 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
3222eldifad 3141 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3332snssd 3738 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
3431, 33unssd 3312 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
3534sselda 3156 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
36 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3715adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
39 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40 cnf2 13708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
42 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
4342fmpt 5667 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
4441, 43sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
45 rsp 2524 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
4746imp 124 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4830, 35, 36, 47syl21anc 1237 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4925, 26, 29, 48fsumsplit 11415 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡))
50 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
51 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5246impancom 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
5352ralrimiv 2549 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
5450, 51, 53syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
55 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ΅
5655nfel1 2330 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
57 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑧 β†’ 𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
5857eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5956, 58rspc 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
6032, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
61 sumsns 11423 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦) ∧ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
6222, 60, 61syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
6362oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
6449, 63eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
6564mpteq2dva 4094 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)))
6665adantr 276 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)))
67 nfcv 2319 . . . . . 6 Ⅎ𝑀(Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
68 nfcv 2319 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
69 nfcsb1v 3091 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡
7068, 69nfsum 11365 . . . . . . 7 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡
71 nfcv 2319 . . . . . . 7 β„²π‘₯ +
72 nfcv 2319 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑧
7372, 69nfcsb 3095 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡
7470, 71, 73nfov 5905 . . . . . 6 β„²π‘₯(Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
75 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐡 = ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
7675sumeq2ad 11377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
7775csbeq2dv 3084 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
7876, 77oveq12d 5893 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡))
7967, 74, 78cbvmpt 4099 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡))
8066, 79eqtrdi 2226 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)))
8115ad3antrrr 492 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
82 nfcv 2319 . . . . . . 7 β„²π‘€Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡
8382, 70, 76cbvmpt 4099 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
84 simpr 110 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8583, 84eqeltrrid 2265 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86 nfcv 2319 . . . . . . 7 Ⅎ𝑀⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅
8786, 73, 77cbvmpt 4099 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
88 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))
8988eldifad 3141 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
9089adantr 276 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
9139ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9291ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘‹
9493, 55nfmpt 4096 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
9594nfel1 2330 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9657mpteq2dv 4095 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
9796eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
9895, 97rspc 2836 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
9990, 92, 98sylc 62 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10087, 99eqeltrrid 2265 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10116addcncntop 14055 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
102101a1i 9 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ + ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
10381, 85, 100, 102cnmpt12f 13789 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10480, 103eqeltrd 2254 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105104ex 115 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– 𝑦))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106 fsumcn.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
1073, 6, 9, 12, 21, 105, 106findcard2sd 6892 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  β¦‹csb 3058   βˆ– cdif 3127   βˆͺ cun 3128   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  βˆ…c0 3423  {csn 3593   ↦ cmpt 4065   ∘ ccom 4631  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  β„‚cc 7809  0cc0 7811   + caddc 7814   βˆ’ cmin 8128  abscabs 11006  Ξ£csu 11361  MetOpencmopn 13448  TopOnctopon 13513   Cn ccn 13688   Γ—t ctx 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-addf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756
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