Theorem fsumcncntop 14887

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
fsumcncntop.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcncntop.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcncntop.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11537	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 4125	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		sumeq1 11537	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
5	4	mpteq2dv 4125	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
6	5	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		sumeq1 11537	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8	7	mpteq2dv 4125	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
9	8	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		sumeq1 11537	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 4125	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		sum0 11570	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
14	13	mpteq2i 4121	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
15		fsumcncntop.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	cntoptopon 14852	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		0cnd 8036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20	15, 18, 19	cnmptc 14602	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	14, 20	eqeltrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
23	22	eldifbd 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
24		disjsn 3685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
26		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
27		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
28		unsnfi 6989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
30		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32	22	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐴)
33	32	snssd 3768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
34	31, 33	unssd 3340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
35	34	sselda 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
39		fsumcncntop.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40		cnf2 14525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
42		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
43	42	fmpt 5715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
45		rsp 2544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
50		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ ℂ))
53	52	ralrimiv 2569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
55		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
56	55	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
57		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
58	57	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
59	56, 58	rspc 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
61		sumsns 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
63	62	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
64	49, 63	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	mpteq2dva 4124	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
66	65	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
67		nfcv 2339	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
68		nfcv 2339	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
69		nfcsb1v 3117	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
70	68, 69	nfsum 11539	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
71		nfcv 2339	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 +
72		nfcv 2339	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
73	72, 69	nfcsb 3122	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
74	70, 71, 73	nfov 5955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
75		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	sumeq2ad 11551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
77	75	csbeq2dv 3110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
78	76, 77	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
79	67, 74, 78	cbvmpt 4129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
80	66, 79	eqtrdi 2245	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)))
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
82		nfcv 2339	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵
83	82, 70, 76	cbvmpt 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
84		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85	83, 84	eqeltrrid 2284	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86		nfcv 2339	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
87	86, 73, 77	cbvmpt 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
88		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
89	88	eldifad 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
91	39	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93		nfcv 2339	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
94	93, 55	nfmpt 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
95	94	nfel1 2350	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
96	57	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
97	96	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
98	95, 97	rspc 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
100	87, 99	eqeltrrid 2284	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
101	16	addcncntop 14882	. . . . . 6 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
102	101	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 14606	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104	80, 103	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105	104	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106		fsumcncntop.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 6962	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ⦋csb 3084   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  {csn 3623   ↦ cmpt 4095   ∘ ccom 4668  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  ℂcc 7894  0cc0 7896   + caddc 7899   − cmin 8214  abscabs 11179  Σcsu 11535  MetOpencmopn 14173  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505   ×_t ctx 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573

This theorem is referenced by:  fsumcn  14888