Theorem fsumcncntop 15154

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
fsumcncntop.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcncntop.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcncntop.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 4151	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2276	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
5	4	mpteq2dv 4151	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
6	5	eleq1d 2276	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8	7	mpteq2dv 4151	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
9	8	eleq1d 2276	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		sumeq1 11781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 4151	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2276	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		sum0 11814	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
14	13	mpteq2i 4147	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
15		fsumcncntop.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	cntoptopon 15119	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		0cnd 8100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20	15, 18, 19	cnmptc 14869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	14, 20	eqeltrid 2294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
23	22	eldifbd 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
24		disjsn 3705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
26		eqidd 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
27		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
28		unsnfi 7042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
30		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32	22	eldifad 3185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐴)
33	32	snssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
34	31, 33	unssd 3357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
35	34	sselda 3201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
39		fsumcncntop.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40		cnf2 14792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
42		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
43	42	fmpt 5753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
45		rsp 2555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11833	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
50		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ ℂ))
53	52	ralrimiv 2580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
55		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
56	55	nfel1 2361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
57		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
58	57	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
59	56, 58	rspc 2878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
61		sumsns 11841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
63	62	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
64	49, 63	eqtrd 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	mpteq2dva 4150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
66	65	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
67		nfcv 2350	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
68		nfcv 2350	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
69		nfcsb1v 3134	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
70	68, 69	nfsum 11783	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
71		nfcv 2350	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 +
72		nfcv 2350	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
73	72, 69	nfcsb 3139	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
74	70, 71, 73	nfov 5997	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
75		csbeq1a 3110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	sumeq2ad 11795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
77	75	csbeq2dv 3127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
78	76, 77	oveq12d 5985	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
79	67, 74, 78	cbvmpt 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
80	66, 79	eqtrdi 2256	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)))
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
82		nfcv 2350	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵
83	82, 70, 76	cbvmpt 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
84		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85	83, 84	eqeltrrid 2295	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86		nfcv 2350	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
87	86, 73, 77	cbvmpt 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
88		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
89	88	eldifad 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
91	39	ralrimiva 2581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93		nfcv 2350	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
94	93, 55	nfmpt 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
95	94	nfel1 2361	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
96	57	mpteq2dv 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
97	96	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
98	95, 97	rspc 2878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
100	87, 99	eqeltrrid 2295	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
101	16	addcncntop 15149	. . . . . 6 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
102	101	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 14873	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104	80, 103	eqeltrd 2284	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105	104	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106		fsumcncntop.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 7015	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ⦋csb 3101   ∖ cdif 3171   ∪ cun 3172   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  {csn 3643   ↦ cmpt 4121   ∘ ccom 4697  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Fincfn 6850  ℂcc 7958  0cc0 7960   + caddc 7963   − cmin 8278  abscabs 11423  Σcsu 11779  MetOpencmopn 14418  TopOnctopon 14597   Cn ccn 14772   ×_t ctx 14839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-addf 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-map 6760  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840

This theorem is referenced by:  fsumcn  15155