Theorem fsumcncntop 12916

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
fsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq2dv 4055	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3	2	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
4		sumeq1 11234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
5	4	mpteq2dv 4055	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
6	5	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7		sumeq1 11234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8	7	mpteq2dv 4055	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
9	8	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
10		sumeq1 11234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	mpteq2dv 4055	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	11	eleq1d 2226	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13		sum0 11267	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
14	13	mpteq2i 4051	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
15		fsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	cntoptopon 12892	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		0cnd 7854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
20	15, 18, 19	cnmptc 12642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21	14, 20	eqeltrid 2244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22		simplrr 526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
23	22	eldifbd 3114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
24		disjsn 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
25	23, 24	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
26		eqidd 2158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
27		simpllr 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
28		unsnfi 6856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
30		simp-4l 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
31		simplrl 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32	22	eldifad 3113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐴)
33	32	snssd 3701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
34	31, 33	unssd 3283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
35	34	sselda 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
36		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
37	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
39		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40		cnf2 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
42		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
43	42	fmpt 5614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
44	41, 43	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
45		rsp 2504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℂ))
47	46	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
50		simplll 523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
51		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
52	46	impancom 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ ℂ))
53	52	ralrimiv 2529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
54	50, 51, 53	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
55		nfcsb1v 3064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
56	55	nfel1 2310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
57		csbeq1a 3040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
58	57	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
59	56, 58	rspc 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
61		sumsns 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
62	22, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
63	62	oveq2d 5834	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
64	49, 63	eqtrd 2190	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
65	64	mpteq2dva 4054	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
66	65	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
67		nfcv 2299	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
68		nfcv 2299	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
69		nfcsb1v 3064	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
70	68, 69	nfsum 11236	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
71		nfcv 2299	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 +
72		nfcv 2299	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
73	72, 69	nfcsb 3068	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
74	70, 71, 73	nfov 5845	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
75		csbeq1a 3040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	sumeq2ad 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
77	75	csbeq2dv 3057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
78	76, 77	oveq12d 5836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
79	67, 74, 78	cbvmpt 4059	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
80	66, 79	eqtrdi 2206	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)))
81	15	ad3antrrr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
82		nfcv 2299	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵
83	82, 70, 76	cbvmpt 4059	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
84		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
85	83, 84	eqeltrrid 2245	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
86		nfcv 2299	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
87	86, 73, 77	cbvmpt 4059	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
88		simprr 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
89	88	eldifad 3113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
90	89	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
91	39	ralrimiva 2530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	91	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
93		nfcv 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
94	93, 55	nfmpt 4056	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
95	94	nfel1 2310	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
96	57	mpteq2dv 4055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
97	96	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
98	95, 97	rspc 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
100	87, 99	eqeltrrid 2245	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
101	16	addcncntop 12912	. . . . . 6 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
102	101	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 12646	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑤 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104	80, 103	eqeltrd 2234	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105	104	ex 114	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
106		fsumcn.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 6830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ⦋csb 3031   ∖ cdif 3099   ∪ cun 3100   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  {csn 3560   ↦ cmpt 4025   ∘ ccom 4587  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  Fincfn 6678  ℂcc 7713  0cc0 7715   + caddc 7718   − cmin 8029  abscabs 10879  Σcsu 11232  MetOpencmopn 12345  TopOnctopon 12368   Cn ccn 12545   ×_t ctx 12612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-addf 7837

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-map 6588  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613

This theorem is referenced by: (None)