ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspun GIF version
Theorem lspun 13493
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspun ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp2 998 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
3 simp3 999 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
42, 3unssd 3313 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
5 ssun1 3300 . . . . . . 7 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)
65a1i 9 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ))
7 lspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lspss.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 8lspss 13490 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
101, 4, 6, 9syl3anc 1238 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
11 ssun2 3301 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)
1211a1i 9 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ))
137, 8lspss 13490 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
141, 4, 12, 13syl3anc 1238 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
1510, 14unssd 3313 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
167, 8lspssv 13489 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
171, 4, 16syl2anc 411 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
1815, 17sstrd 3167 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉)
197, 8lspssid 13491 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
201, 2, 19syl2anc 411 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
217, 8lspssid 13491 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
22 unss12 3309 . . . 4 ((𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)))
2320, 21, 223imp3i2an 1183 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)))
247, 8lspss 13490 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
251, 18, 23, 24syl3anc 1238 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
267, 8lspss 13490 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† 𝑉 ∧ ((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ)) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
271, 17, 15, 26syl3anc 1238 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
287, 8lspidm 13492 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
291, 4, 28syl2anc 411 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
3027, 29sseqtrd 3195 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
3125, 30eqssd 3174 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‡) βˆͺ (π‘β€˜π‘ˆ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βˆͺ cun 3129   βŠ† wss 3131  β€˜cfv 5218  Basecbs 12464  LModclmod 13382  LSpanclspn 13478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448  df-lsp 13479
This theorem is referenced by:  lspun0  13516
  Copyright terms: Public domain W3C validator