Theorem lspun 14599

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspun	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 3397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 3384	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
6	5	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
7		lspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspss.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspss 14596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11		ssun2 3385	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
13	7, 8	lspss 14596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
15	10, 14	unssd 3397	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
16	7, 8	lspssv 14595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	1, 4, 16	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
18	15, 17	sstrd 3250	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
19	7, 8	lspssid 14597	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
20	1, 2, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
21	7, 8	lspssid 14597	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
22		unss12 3393	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1210	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
24	7, 8	lspss 14596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
26	7, 8	lspss 14596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
28	7, 8	lspidm 14598	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
29	1, 4, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
30	27, 29	sseqtrd 3278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
31	25, 30	eqssd 3257	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211   ⊆ wss 3213  ‘cfv 5354  Basecbs 13233  LModclmod 14484  LSpanclspn 14583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-ring 14163  df-lmod 14486  df-lssm 14550  df-lsp 14584

This theorem is referenced by:  lspun0  14622