Theorem lspun 14409

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspun	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		simp3 1023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	2, 3	unssd 3381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉)
5		ssun1 3368	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
6	5	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
7		lspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspss.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspss 14406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11		ssun2 3369	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈))
13	7, 8	lspss 14406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ∪ 𝑈)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
15	10, 14	unssd 3381	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
16	7, 8	lspssv 14405	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	1, 4, 16	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉)
18	15, 17	sstrd 3235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
19	7, 8	lspssid 14407	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
20	1, 2, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
21	7, 8	lspssid 14407	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
22		unss12 3377	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1207	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)))
24	7, 8	lspss 14406	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))
26	7, 8	lspss 14406	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
28	7, 8	lspidm 14408	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
29	1, 4, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
30	27, 29	sseqtrd 3263	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
31	25, 30	eqssd 3242	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) = (𝑁‘((𝑁‘𝑇) ∪ (𝑁‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3196   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  Basecbs 13075  LModclmod 14294  LSpanclspn 14393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-sbg 13581  df-mgp 13927  df-ur 13966  df-ring 14004  df-lmod 14296  df-lssm 14360  df-lsp 14394

This theorem is referenced by:  lspun0  14432