ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0addcl GIF version

Theorem un0addcl 8676
Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0addcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2154 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3139 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 182 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2154 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3139 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 182 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3161 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3057 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 3021 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 367 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 3023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514addid2d 7611 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑇)
1716sselda 3023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁𝑇)
1815, 17eqeltrd 2164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19 elsni 3459 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2019oveq1d 5649 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
2120eleq1d 2156 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2218, 21syl5ibrcom 155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2322impancom 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2412, 23jaodan 746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
257, 24sylan2b 281 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26 0cnd 7460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2726snssd 3577 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2813, 27unssd 3174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
291, 28syl5eqss 3068 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3029sselda 3023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130addid1d 7610 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
3331, 32eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34 elsni 3459 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3534oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
3635eleq1d 2156 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
3733, 36syl5ibrcom 155 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
3825, 37jaod 672 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
394, 38syl5bi 150 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
4039impr 371 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  cun 2995  wss 2997  {csn 3441  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329   + caddc 7332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637
This theorem is referenced by:  nn0addcl  8678
  Copyright terms: Public domain W3C validator