Theorem exmidunben 13300

Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to ℕ, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidunben	⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem exmidunben

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	enref 7045	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ≈ 𝑦
3		2z 9655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzennn 10856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ≈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) ≈ ℕ
6		djuen 7561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝑦 ∧ (ℤ≥‘2) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
7	2, 5, 6	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ)
8	7	ensymi 7063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2))
9		zex 9636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
10		uzssz 9925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℤ
11	9, 10	ssexi 4269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) ∈ V
12		1re 8319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	12	ltnri 8412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
14		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ {1})
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
16	14, 15	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ {1})
17		elsni 3726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 = 1)
19	18	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (1 < 𝑧 ↔ 1 < 1))
20	13, 19	mtbiri 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 1 < 𝑧)
21		eluz2gt1 9985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑧)
22	20, 21	nsyl 637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
24		disj 3573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅)
26		endjudisj 7560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ (ℤ≥‘2) ∈ V ∧ (𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
27	1, 11, 25, 26	mp3an12i 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
28		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ {1})
29		1nn 9298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
30		snssi 3857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1} ⊆ ℕ
32	28, 31	sstrdi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ ℕ)
33		2nn 9449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
34		uznnssnn 9960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
35	33, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
36	32, 35	unssd 3405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ)
37		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ⊆ ℕ
38		nfra1 2581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛
39	37, 38	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛)
40		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ≈ ℕ
41	39, 40	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
42	41	nfal 1629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
43		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚ω ∈ Omni
44	42, 43	nfan 1618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni)
45		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ⊆ {1}
46	44, 45	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1})
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
48	47	peano2nnd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
49	48	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
50		0p1e1 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
51		0red 8321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53		1red 8335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
54		nngt0 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
55	51, 52, 53, 54	ltadd1dd 8878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (0 + 1) < (𝑚 + 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 4164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < (𝑚 + 1))
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (𝑚 + 1))
58		eluz2b1 9984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑚 + 1)))
59	49, 57, 58	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
60		elun2 3397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
62	47	nnred 9300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
63	62	ltp1d 9254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 + 1))
64		breq2 4132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑚 < (𝑚 + 1)))
65	64	rspcev 2929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
66	61, 63, 65	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑚 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
68	46, 67	ralrimi 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
69	1, 11	unex 4585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∈ V
70		sseq1 3271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ⊆ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ))
71		rexeq 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
72	71	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
73	70, 72	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) ↔ ((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)))
74		breq1 4131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ≈ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
75	73, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ↔ (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)))
76	69, 75	spcv 2919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) → (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
77	76	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
78	36, 68, 77	mp2and 437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
79		entr 7065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
80	27, 78, 79	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
81		entr 7065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
82	8, 80, 81	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
83	82	ensymd 7064	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
84		bren 7024	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ) ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
85	83, 84	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
86		simpllr 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ω ∈ Omni)
87		nnenom 10854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
88		enomni 7473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni))
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni)
90	86, 89	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ℕ ∈ Omni)
91		f1ofo 5644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
92	91	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
93	90, 92	fodjuomni 7483	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑦 = ∅))
94	93	orcomd 741	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
95		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑦 ⊆ {1})
96		sssnm 3877	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ {1} ↔ 𝑦 = {1}))
97	95, 96	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → 𝑦 = {1}))
98	97	orim2d 800	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
99	94, 98	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
100	85, 99	exlimddv 1954	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
101	100	ex 115	. . 3 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → (𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
102	101	alrimiv 1927	. 2 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
103		exmidsssnc 4338	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))))
104	29, 103	ax-mp 5	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
105	102, 104	sylibr 134	1 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  ∀wal 1400   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708   class class class wbr 4128  EXMIDwem 4329  ωcom 4735  –onto→wfo 5373  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ≈ cen 7014   ⊔ cdju 7371  Omnicomni 7468  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354  ℕcn 9287  2c2 9338  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-exmid 4330  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dju 7372  df-inl 7381  df-inr 7382  df-omni 7469  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905

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