Theorem exmidunben 12359

Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to ℕ, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidunben	⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem exmidunben

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	enref 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ≈ 𝑦
3		2z 9219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzennn 10371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ≈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) ≈ ℕ
6		djuen 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝑦 ∧ (ℤ≥‘2) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
7	2, 5, 6	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ)
8	7	ensymi 6748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2))
9		zex 9200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
10		uzssz 9485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℤ
11	9, 10	ssexi 4120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) ∈ V
12		1re 7898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	12	ltnri 7991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
14		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ {1})
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
16	14, 15	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ {1})
17		elsni 3594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 = 1)
19	18	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (1 < 𝑧 ↔ 1 < 1))
20	13, 19	mtbiri 665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 1 < 𝑧)
21		eluz2gt1 9540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑧)
22	20, 21	nsyl 618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
24		disj 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
25	23, 24	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅)
26		endjudisj 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ (ℤ≥‘2) ∈ V ∧ (𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
27	1, 11, 25, 26	mp3an12i 1331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
28		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ {1})
29		1nn 8868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
30		snssi 3717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1} ⊆ ℕ
32	28, 31	sstrdi 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ ℕ)
33		2nn 9018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
34		uznnssnn 9515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
35	33, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
36	32, 35	unssd 3298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ)
37		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ⊆ ℕ
38		nfra1 2497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛
39	37, 38	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛)
40		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ≈ ℕ
41	39, 40	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
42	41	nfal 1564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
43		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚ω ∈ Omni
44	42, 43	nfan 1553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni)
45		nfv 1516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ⊆ {1}
46	44, 45	nfan 1553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1})
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
48	47	peano2nnd 8872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
49	48	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
50		0p1e1 8971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
51		0red 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52		nnre 8864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53		1red 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
54		nngt0 8882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
55	51, 52, 53, 54	ltadd1dd 8454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (0 + 1) < (𝑚 + 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < (𝑚 + 1))
57	56	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (𝑚 + 1))
58		eluz2b1 9539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑚 + 1)))
59	49, 57, 58	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
60		elun2 3290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
62	47	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
63	62	ltp1d 8825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 + 1))
64		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑚 < (𝑚 + 1)))
65	64	rspcev 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
66	61, 63, 65	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
67	66	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑚 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
68	46, 67	ralrimi 2537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
69	1, 11	unex 4419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∈ V
70		sseq1 3165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ⊆ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ))
71		rexeq 2662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
72	71	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
73	70, 72	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) ↔ ((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)))
74		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ≈ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
75	73, 74	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ↔ (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)))
76	69, 75	spcv 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) → (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
77	76	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
78	36, 68, 77	mp2and 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
79		entr 6750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
80	27, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
81		entr 6750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
82	8, 80, 81	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
83	82	ensymd 6749	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
84		bren 6713	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ) ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
85	83, 84	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
86		simpllr 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ω ∈ Omni)
87		nnenom 10369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
88		enomni 7103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni))
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni)
90	86, 89	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ℕ ∈ Omni)
91		f1ofo 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
92	91	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
93	90, 92	fodjuomni 7113	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑦 = ∅))
94	93	orcomd 719	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
95		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑦 ⊆ {1})
96		sssnm 3734	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ {1} ↔ 𝑦 = {1}))
97	95, 96	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → 𝑦 = {1}))
98	97	orim2d 778	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
99	94, 98	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
100	85, 99	exlimddv 1886	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
101	100	ex 114	. . 3 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → (𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
102	101	alrimiv 1862	. 2 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
103		exmidsssnc 4182	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))))
104	29, 103	ax-mp 5	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
105	102, 104	sylibr 133	1 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  ∀wal 1341   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982  EXMIDwem 4173  ωcom 4567  –onto→wfo 5186  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ≈ cen 6704   ⊔ cdju 7002  Omnicomni 7098  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933  ℕcn 8857  2c2 8908  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-map 6616  df-en 6707  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-omni 7099  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

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