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Theorem exmidunben 12410
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to , then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
21enref 6759 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦
3 2z 9270 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4 uzennn 10422 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (ℤ‘2) ≈ ℕ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘2) ≈ ℕ
6 djuen 7204 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑦 ∧ (ℤ‘2) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
72, 5, 6mp2an 426 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ)
87ensymi 6776 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ‘2))
9 zex 9251 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
10 uzssz 9536 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘2) ⊆ ℤ
119, 10ssexi 4138 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘2) ∈ V
12 1re 7947 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
1312ltnri 8040 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 1 < 1
14 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦 ⊆ {1})
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑦)
1614, 15sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ {1})
17 elsni 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 = 1)
1918breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → (1 < 𝑧 ↔ 1 < 1))
2013, 19mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 1 < 𝑧)
21 eluz2gt1 9591 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑧)
2220, 21nsyl 628 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
2322ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑧𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
24 disj 3471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∩ (ℤ‘2)) = ∅ ↔ ∀𝑧𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∩ (ℤ‘2)) = ∅)
26 endjudisj 7203 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ V ∧ (ℤ‘2) ∈ V ∧ (𝑦 ∩ (ℤ‘2)) = ∅) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
271, 11, 25, 26mp3an12i 1341 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ {1})
29 1nn 8919 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
30 snssi 3735 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {1} ⊆ ℕ
3228, 31sstrdi 3167 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ ℕ)
33 2nn 9069 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
34 uznnssnn 9566 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
3632, 35unssd 3311 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ)
37 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑥 ⊆ ℕ
38 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛
3937, 38nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛)
40 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝑥 ≈ ℕ
4139, 40nfim 1572 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
4241nfal 1576 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
43 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚ω ∈ Omni
4442, 43nfan 1565 . . . . . . . . . . . 12 𝑚(∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni)
45 nfv 1528 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 𝑦 ⊆ {1}
4644, 45nfan 1565 . . . . . . . . . . 11 𝑚((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1})
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4847peano2nnd 8923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4948nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
50 0p1e1 9022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
51 0red 7949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52 nnre 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53 1red 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
54 nngt0 8933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (0 + 1) < (𝑚 + 1))
5650, 55eqbrtrrid 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < (𝑚 + 1))
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (𝑚 + 1))
58 eluz2b1 9590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑚 + 1)))
5949, 57, 58sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
60 elun2 3303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
6247nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
6362ltp1d 8876 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 + 1))
64 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑚 < 𝑛𝑚 < (𝑚 + 1)))
6564rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)
6766ex 115 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑚 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛))
6846, 67ralrimi 2548 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)
691, 11unex 4438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ∈ V
70 sseq1 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (𝑥 ⊆ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ))
71 rexeq 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛))
7271ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛))
7370, 72anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) ↔ ((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)))
74 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (𝑥 ≈ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ))
7573, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ↔ (((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)))
7669, 75spcv 2831 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) → (((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ))
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ))
7836, 68, 77mp2and 433 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)
79 entr 6778 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)
8027, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)
81 entr 6778 . . . . . . . 8 (((𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
828, 80, 81sylancr 414 . . . . . . 7 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
8382ensymd 6777 . . . . . 6 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
84 bren 6741 . . . . . 6 (ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ) ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
8583, 84sylib 122 . . . . 5 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
86 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ω ∈ Omni)
87 nnenom 10420 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
88 enomni 7131 . . . . . . . . . 10 (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni))
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni)
9086, 89sylibr 134 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ℕ ∈ Omni)
91 f1ofo 5464 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
9291adantl 277 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
9390, 92fodjuomni 7141 . . . . . . 7 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤𝑦𝑦 = ∅))
9493orcomd 729 . . . . . 6 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤𝑦))
95 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑦 ⊆ {1})
96 sssnm 3752 . . . . . . . 8 (∃𝑤 𝑤𝑦 → (𝑦 ⊆ {1} ↔ 𝑦 = {1}))
9795, 96syl5ibcom 155 . . . . . . 7 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤𝑦𝑦 = {1}))
9897orim2d 788 . . . . . 6 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤𝑦) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
9994, 98mpd 13 . . . . 5 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
10085, 99exlimddv 1898 . . . 4 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
101100ex 115 . . 3 ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → (𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
102101alrimiv 1874 . 2 ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
103 exmidsssnc 4200 . . 3 (1 ∈ ℕ → (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))))
10429, 103ax-mp 5 . 2 (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
105102, 104sylibr 134 1 ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  wal 1351   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3591   class class class wbr 4000  EXMIDwem 4191  ωcom 4586  ontowfo 5210  1-1-ontowf1o 5211  cfv 5212  (class class class)co 5869  cen 6732  cdju 7030  Omnicomni 7126  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cuz 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-exmid 4192  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-map 6644  df-en 6735  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-omni 7127  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518
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