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Theorem exmidunben 11784
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to , then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2660 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
21enref 6613 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦
3 2z 8986 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4 uzennn 10102 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (ℤ‘2) ≈ ℕ)
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘2) ≈ ℕ
6 djuen 7015 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑦 ∧ (ℤ‘2) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
72, 5, 6mp2an 420 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ)
87ensymi 6630 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ‘2))
9 zex 8967 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
10 uzssz 9247 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘2) ⊆ ℤ
119, 10ssexi 4026 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘2) ∈ V
12 1re 7689 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
1312ltnri 7779 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 1 < 1
14 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦 ⊆ {1})
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑦)
1614, 15sseldd 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ {1})
17 elsni 3511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 = 1)
1918breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → (1 < 𝑧 ↔ 1 < 1))
2013, 19mtbiri 647 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 1 < 𝑧)
21 eluz2gt1 9298 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑧)
2220, 21nsyl 600 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
2322ralrimiva 2479 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑧𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
24 disj 3377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∩ (ℤ‘2)) = ∅ ↔ ∀𝑧𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
2523, 24sylibr 133 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∩ (ℤ‘2)) = ∅)
26 endjudisj 7014 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ V ∧ (ℤ‘2) ∈ V ∧ (𝑦 ∩ (ℤ‘2)) = ∅) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
271, 11, 25, 26mp3an12i 1302 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
28 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ {1})
29 1nn 8641 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
30 snssi 3630 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 {1} ⊆ ℕ
3228, 31syl6ss 3075 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ ℕ)
33 2nn 8785 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
34 uznnssnn 9274 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
3632, 35unssd 3218 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ)
37 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑥 ⊆ ℕ
38 nfra1 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛
3937, 38nfan 1527 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛)
40 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝑥 ≈ ℕ
4139, 40nfim 1534 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
4241nfal 1538 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
43 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚ω ∈ Omni
4442, 43nfan 1527 . . . . . . . . . . . 12 𝑚(∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni)
45 nfv 1491 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 𝑦 ⊆ {1}
4644, 45nfan 1527 . . . . . . . . . . 11 𝑚((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1})
47 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4847peano2nnd 8645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4948nnzd 9076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
50 0p1e1 8744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 1) = 1
51 0red 7691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52 nnre 8637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53 1red 7705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
54 nngt0 8655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (0 + 1) < (𝑚 + 1))
5650, 55eqbrtrrid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < (𝑚 + 1))
5756adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (𝑚 + 1))
58 eluz2b1 9297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑚 + 1)))
5949, 57, 58sylanbrc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
60 elun2 3210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)))
6247nnred 8643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
6362ltp1d 8598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 + 1))
64 breq2 3899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑚 < 𝑛𝑚 < (𝑚 + 1)))
6564rspcev 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)
6661, 63, 65syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)
6766ex 114 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑚 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛))
6846, 67ralrimi 2477 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)
691, 11unex 4322 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ∈ V
70 sseq1 3086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (𝑥 ⊆ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ))
71 rexeq 2601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛))
7271ralbidv 2411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛))
7370, 72anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) ↔ ((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛)))
74 breq1 3898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (𝑥 ≈ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ))
7573, 74imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ↔ (((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)))
7669, 75spcv 2750 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) → (((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ))
7776ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (((𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ))
7836, 68, 77mp2and 427 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)
79 entr 6632 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∪ (ℤ‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)
8027, 78, 79syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ ℕ)
81 entr 6632 . . . . . . . 8 (((𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ⊔ (ℤ‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
828, 80, 81sylancr 408 . . . . . . 7 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
8382ensymd 6631 . . . . . 6 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
84 bren 6595 . . . . . 6 (ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ) ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
8583, 84sylib 121 . . . . 5 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
86 simpllr 506 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ω ∈ Omni)
87 nnenom 10100 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
88 enomni 6961 . . . . . . . . . 10 (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni))
8987, 88ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni)
9086, 89sylibr 133 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ℕ ∈ Omni)
91 f1ofo 5330 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
9291adantl 273 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
9390, 92fodjuomni 6971 . . . . . . 7 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤𝑦𝑦 = ∅))
9493orcomd 701 . . . . . 6 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤𝑦))
95 simplr 502 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑦 ⊆ {1})
96 sssnm 3647 . . . . . . . 8 (∃𝑤 𝑤𝑦 → (𝑦 ⊆ {1} ↔ 𝑦 = {1}))
9795, 96syl5ibcom 154 . . . . . . 7 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤𝑦𝑦 = {1}))
9897orim2d 760 . . . . . 6 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤𝑦) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
9994, 98mpd 13 . . . . 5 ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
10085, 99exlimddv 1852 . . . 4 (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
101100ex 114 . . 3 ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → (𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
102101alrimiv 1828 . 2 ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
103 exmidsssnc 4086 . . 3 (1 ∈ ℕ → (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))))
10429, 103ax-mp 7 . 2 (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
105102, 104sylibr 133 1 ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  wal 1312   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  Vcvv 2657  cun 3035  cin 3036  wss 3037  c0 3329  {csn 3493   class class class wbr 3895  EXMIDwem 4078  ωcom 4464  ontowfo 5079  1-1-ontowf1o 5080  cfv 5081  (class class class)co 5728  cen 6586  cdju 6874  Omnicomni 6954  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   < clt 7724  cn 8630  2c2 8681  cz 8958  cuz 9228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-exmid 4079  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-map 6498  df-en 6589  df-dju 6875  df-inl 6884  df-inr 6885  df-omni 6956  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229
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