Theorem exmidunben 12394

Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to ℕ, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidunben	⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem exmidunben

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	enref 6755	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ≈ 𝑦
3		2z 9254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		uzennn 10406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ≈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) ≈ ℕ
6		djuen 7200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝑦 ∧ (ℤ≥‘2) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ⊔ ℕ)
8	7	ensymi 6772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2))
9		zex 9235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
10		uzssz 9520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℤ
11	9, 10	ssexi 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘2) ∈ V
12		1re 7931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	12	ltnri 8024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 < 1
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ {1})
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
16	14, 15	sseldd 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ {1})
17		elsni 3607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 = 1)
19	18	breq2d 4010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (1 < 𝑧 ↔ 1 < 1))
20	13, 19	mtbiri 675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 1 < 𝑧)
21		eluz2gt1 9575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑧)
22	20, 21	nsyl 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ralrimiva 2548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
24		disj 3469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅)
26		endjudisj 7199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ (ℤ≥‘2) ∈ V ∧ (𝑦 ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
27	1, 11, 25, 26	mp3an12i 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
28		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ {1})
29		1nn 8903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
30		snssi 3733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1} ⊆ ℕ
32	28, 31	sstrdi 3165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → 𝑦 ⊆ ℕ)
33		2nn 9053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
34		uznnssnn 9550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
35	33, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
36	32, 35	unssd 3309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ)
37		nfv 1526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ⊆ ℕ
38		nfra1 2506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛
39	37, 38	nfan 1563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛)
40		nfv 1526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑥 ≈ ℕ
41	39, 40	nfim 1570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
42	41	nfal 1574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ)
43		nfv 1526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚ω ∈ Omni
44	42, 43	nfan 1563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚(∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni)
45		nfv 1526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ⊆ {1}
46	44, 45	nfan 1563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1})
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
48	47	peano2nnd 8907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
49	48	nnzd 9347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
50		0p1e1 9006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 1) = 1
51		0red 7933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
52		nnre 8899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53		1red 7947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
54		nngt0 8917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
55	51, 52, 53, 54	ltadd1dd 8487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (0 + 1) < (𝑚 + 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 4034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < (𝑚 + 1))
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < (𝑚 + 1))
58		eluz2b1 9574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑚 + 1)))
59	49, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
60		elun2 3301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)))
62	47	nnred 8905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
63	62	ltp1d 8860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 + 1))
64		breq2 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑚 < (𝑚 + 1)))
65	64	rspcev 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
66	61, 63, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑚 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
68	46, 67	ralrimi 2546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)
69	1, 11	unex 4435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∈ V
70		sseq1 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ⊆ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ))
71		rexeq 2671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
72	71	ralbidv 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛))
73	70, 72	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) ↔ ((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛)))
74		breq1 4001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ≈ ℕ ↔ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
75	73, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ↔ (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)))
76	69, 75	spcv 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) → (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (((𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2))𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ))
78	36, 68, 77	mp2and 433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
79		entr 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∪ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
80	27, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ)
81		entr 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ⊔ ℕ) ≈ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ⊔ (ℤ≥‘2)) ≈ ℕ) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
82	8, 80, 81	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
83	82	ensymd 6773	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ))
84		bren 6737	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≈ (𝑦 ⊔ ℕ) ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
85	83, 84	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
86		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ω ∈ Omni)
87		nnenom 10404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
88		enomni 7127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni))
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ ∈ Omni ↔ ω ∈ Omni)
90	86, 89	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ℕ ∈ Omni)
91		f1ofo 5460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
92	91	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑓:ℕ–onto→(𝑦 ⊔ ℕ))
93	90, 92	fodjuomni 7137	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑦 = ∅))
94	93	orcomd 729	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
95		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → 𝑦 ⊆ {1})
96		sssnm 3750	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → (𝑦 ⊆ {1} ↔ 𝑦 = {1}))
97	95, 96	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → 𝑦 = {1}))
98	97	orim2d 788	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → ((𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
99	94, 98	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(𝑦 ⊔ ℕ)) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
100	85, 99	exlimddv 1896	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) ∧ 𝑦 ⊆ {1}) → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))
101	100	ex 115	. . 3 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → (𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
102	101	alrimiv 1872	. 2 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
103		exmidsssnc 4198	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1}))))
104	29, 103	ax-mp 5	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑦(𝑦 ⊆ {1} → (𝑦 = ∅ ∨ 𝑦 = {1})))
105	102, 104	sylibr 134	1 ⊢ ((∀𝑥((𝑥 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝑥 𝑚 < 𝑛) → 𝑥 ≈ ℕ) ∧ ω ∈ Omni) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  ∀wal 1351   = wceq 1353  ∃wex 1490   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ∃wrex 2454  Vcvv 2735   ∪ cun 3125   ∩ cin 3126   ⊆ wss 3127  ∅c0 3420  {csn 3589   class class class wbr 3998  EXMIDwem 4189  ωcom 4583  –onto→wfo 5206  –1-1-onto→wf1o 5207  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865   ≈ cen 6728   ⊔ cdju 7026  Omnicomni 7122  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966  ℕcn 8892  2c2 8943  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-exmid 4190  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-map 6640  df-en 6731  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-omni 7123  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-2 8951  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502

This theorem is referenced by: (None)