Theorem un0mulcl 9283

Description: If 𝑆 is closed under multiplication, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2	⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0mulcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
2	1	eleq2i 2263	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ 𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3		elun 3304	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
4	2, 3	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
5	1	eleq2i 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6		elun 3304	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
8		ssun1 3326	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
9	8, 1	sseqtrri 3218	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
12	11	expr 375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	mul02d 8418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 · 𝑁) = 0)
16		ssun2 3327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
17	16, 1	sseqtrri 3218	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ⊆ 𝑇
18		c0ex 8020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
19	18	snss 3757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ 𝑇 ↔ {0} ⊆ 𝑇)
20	17, 19	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ 𝑇
21	15, 20	eqeltrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 · 𝑁) ∈ 𝑇)
22		elsni 3640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
23	22	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
24	23	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 · 𝑁) ∈ 𝑇))
25	21, 24	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
26	25	impancom 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ {0}) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
27	12, 26	jaodan 798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0})) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
28	7, 27	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
29		0cnd 8019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	29	snssd 3767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
31	13, 30	unssd 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
32	1, 31	eqsstrid 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
33	32	sselda 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
34	33	mul01d 8419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 · 0) = 0)
35	34, 20	eqeltrdi 2287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 · 0) ∈ 𝑇)
36		elsni 3640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
37	36	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
38	37	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 · 0) ∈ 𝑇))
39	35, 38	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
40	28, 39	jaod 718	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → ((𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
41	4, 40	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑇 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
42	41	impr 379	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  {csn 3622  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879   · cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  9285  plymullem  14986