ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0mulcl GIF version

Theorem un0mulcl 8677
Description: If 𝑆 is closed under multiplication, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0mulcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0mulcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2154 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3139 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 182 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2154 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3139 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 182 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3161 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3057 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 3021 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 367 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 3023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514mul02d 7849 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) = 0)
16 ssun2 3162 . . . . . . . . . . 11 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
1716, 1sseqtr4i 3057 . . . . . . . . . 10 {0} ⊆ 𝑇
18 c0ex 7461 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1918snss 3561 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ 𝑇 ↔ {0} ⊆ 𝑇)
2017, 19mpbir 144 . . . . . . . . 9 0 ∈ 𝑇
2115, 20syl6eqel 2178 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) ∈ 𝑇)
22 elsni 3459 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2322oveq1d 5649 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2423eleq1d 2156 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2521, 24syl5ibrcom 155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2625impancom 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2712, 26jaodan 746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
287, 27sylan2b 281 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
29 0cnd 7460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3029snssd 3577 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
3113, 30unssd 3174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
321, 31syl5eqss 3068 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3332sselda 3023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3433mul01d 7850 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) = 0)
3534, 20syl6eqel 2178 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) ∈ 𝑇)
36 elsni 3459 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3736oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
3837eleq1d 2156 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 · 0) ∈ 𝑇))
3935, 38syl5ibrcom 155 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4028, 39jaod 672 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
414, 40syl5bi 150 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4241impr 371 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  cun 2995  wss 2997  {csn 3441  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329   · cmul 7334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634
This theorem is referenced by:  nn0mulcl  8679
  Copyright terms: Public domain W3C validator