Theorem lsptpcl 14591

Description: The span of an unordered triple is a subspace (frequently used special case of lspcl 14588). (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lsptpcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsptpcl	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsptpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		df-tp 3699	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
3		lspprcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lspprcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5	3, 4	prssd 3855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lsptpcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 3841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	unssd 3397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
9	2, 8	eqsstrid 3286	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
10		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13	10, 11, 12	lspcl 14588	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ∈ 𝑆)
14	1, 9, 13	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211   ⊆ wss 3213  {csn 3691  {cpr 3692  {ctp 3693  ‘cfv 5354  Basecbs 13233  LModclmod 14484  LSubSpclss 14549  LSpanclspn 14583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-ring 14163  df-lmod 14486  df-lssm 14550  df-lsp 14584

This theorem is referenced by: (None)