Theorem unss 3337

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶))
2		19.26 1495	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
3		elun 3304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	imbi1i 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶))
5		jaob 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
7	6	albii 1484	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
8		dfss2 3172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶))
9		dfss2 3172	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶))
10	8, 9	anbi12i 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
12	1, 11	bitr2i 185	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∀wal 1362   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  unssi  3338  unssd  3339  unssad  3340  unssbd  3341  uneqin  3414  undifss  3531  prss  3778  prssg  3779  tpss  3788  exmid1stab  4241  pwundifss  4320  ordsucss  4540  elomssom  4641  eqrelrel  4764  xpsspw  4775  relun  4780  relcoi2  5200  dfer2  6593  fimaxre2  11392  uncld  14349  plyun0  14972  bdeqsuc  15527