ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unss GIF version

Theorem unss 3174
Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)
Assertion
Ref Expression
unss ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3014 . 2 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐶))
2 19.26 1415 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑥𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶)) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐶)))
3 elun 3141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
43imbi1i 236 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐶) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐶))
5 jaob 666 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐶) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶)))
64, 5bitri 182 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐶) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶)))
76albii 1404 . . 3 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐶) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶)))
8 dfss2 3014 . . . 4 (𝐴𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶))
9 dfss2 3014 . . . 4 (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐶))
108, 9anbi12i 448 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐶) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐶)))
112, 7, 103bitr4i 210 . 2 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐶) ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶))
121, 11bitr2i 183 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  wal 1287  wcel 1438  cun 2997  wss 2999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012
This theorem is referenced by:  unssi  3175  unssd  3176  unssad  3177  unssbd  3178  uneqin  3250  undifss  3363  prss  3593  prssg  3594  tpss  3602  pwundifss  4112  ordsucss  4321  elnn  4420  eqrelrel  4539  xpsspw  4550  relun  4554  relcoi2  4961  dfer2  6291  fimaxre2  10654  bdeqsuc  11727
  Copyright terms: Public domain W3C validator