Theorem unss 3333

Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unss	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶))
2		19.26 1492	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
3		elun 3300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	imbi1i 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶))
5		jaob 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
7	6	albii 1481	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
8		dfss2 3168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶))
9		dfss2 3168	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶))
10	8, 9	anbi12i 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)))
11	2, 7, 10	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶))
12	1, 11	bitr2i 185	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∀wal 1362   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  unssi  3334  unssd  3335  unssad  3336  unssbd  3337  uneqin  3410  undifss  3527  prss  3774  prssg  3775  tpss  3784  exmid1stab  4237  pwundifss  4316  ordsucss  4536  elomssom  4637  eqrelrel  4760  xpsspw  4771  relun  4776  relcoi2  5196  dfer2  6588  fimaxre2  11370  uncld  14281  plyun0  14882  bdeqsuc  15373