ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzouzsplit GIF version

Theorem fzouzsplit 9555
Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzsplit (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8997 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 eluzelz 8997 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
3 zlelttric 8765 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵𝑥𝑥 < 𝐵))
41, 2, 3syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐵𝑥𝑥 < 𝐵))
54orcomd 683 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
6 id 19 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐴))
7 elfzo2 9526 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
8 df-3an 926 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
97, 8bitri 182 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
109baib 866 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
116, 1, 10syl2anr 284 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12 eluz 9001 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) ↔ 𝐵𝑥))
131, 2, 12syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) ↔ 𝐵𝑥))
1411, 13orbi12d 742 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥)))
155, 14mpbird 165 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)))
1615ex 113 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵))))
17 elun 3139 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)))
1816, 17syl6ibr 160 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵))))
1918ssrdv 3029 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)))
20 elfzouz 9527 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐴))
2120ssriv 3027 . . . 4 (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ𝐴)
2221a1i 9 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ𝐴))
23 uzss 9008 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐵) ⊆ (ℤ𝐴))
2422, 23unssd 3174 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)) ⊆ (ℤ𝐴))
2519, 24eqssd 3040 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  cun 2995  wss 2997   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634   < clt 7501  cle 7502  cz 8720  cuz 8988  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  11023
  Copyright terms: Public domain W3C validator