Theorem fzouzsplit 9987

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
3		zlelttric 9123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐵))
5	4	orcomd 719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥))
6		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		elfzo2 9958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
8		df-3an 965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
9	7, 8	bitri 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
10	9	baib 905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
11	6, 1, 10	syl2anr 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12		eluz 9363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
13	1, 2, 12	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
14	11, 13	orbi12d 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝑥)))
15	5, 14	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
16	15	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵))))
17		elun 3222	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	16, 17	syl6ibr 161	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵))))
19	18	ssrdv 3108	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))
20		elfzouz 9959	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
21	20	ssriv 3106	. . . 4 ⊢ (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴)
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
23		uzss 9370	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐵) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
24	22, 23	unssd 3257	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ⊆ (ℤ≥‘𝐴))
25	19, 24	eqssd 3119	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (ℤ≥‘𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782   < clt 7824   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ..^cfzo 9950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951

This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  11674