Theorem 2reu4 4525

Description: Definition of double restricted existential uniqueness ("exactly one 𝑥 and exactly one 𝑦"), analogous to 2eu4 2650. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu4	⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝜑   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 3380	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
2		rexn0 4509	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		reurex 3380	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
5		rexn0 4509	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
7	3, 6	anim12i 613	. 2 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
8		ne0i 4333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
9		ne0i 4333	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
10	8, 9	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
12	11	rexlimivv 3199	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
13	12	adantr 481	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
14		2reu4lem 4524	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))))
15	7, 13, 14	pm5.21nii 379	1 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374  ∅c0 4321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-dif 3950  df-nul 4322

This theorem is referenced by:  opreu2reurex  6290  opreu2reuALT  31704