Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2uplex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2uplex 33502
Description: A couple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
bj-2uplex (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem bj-2uplex
StepHypRef Expression
1 bj-pr21val 33493 . . . 4 pr1𝐴, 𝐵⦆ = 𝐴
2 bj-pr1ex 33486 . . . 4 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → pr1𝐴, 𝐵⦆ ∈ V)
31, 2syl5eqelr 2883 . . 3 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4 bj-pr22val 33499 . . . 4 pr2𝐴, 𝐵⦆ = 𝐵
5 bj-pr2ex 33500 . . . 4 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → pr2𝐴, 𝐵⦆ ∈ V)
64, 5syl5eqelr 2883 . . 3 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → 𝐵 ∈ V)
73, 6jca 508 . 2 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
8 df-bj-2upl 33491 . . 3 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
9 bj-1uplex 33488 . . . . 5 (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)
109biimpri 220 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
11 snex 5099 . . . . 5 {1𝑜} ∈ V
12 bj-xtagex 33469 . . . . 5 ({1𝑜} ∈ V → (𝐵 ∈ V → ({1𝑜} × tag 𝐵) ∈ V))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ({1𝑜} × tag 𝐵) ∈ V)
14 unexg 7193 . . . 4 ((⦅𝐴⦆ ∈ V ∧ ({1𝑜} × tag 𝐵) ∈ V) → (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ∈ V)
1510, 13, 14syl2an 590 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ∈ V)
168, 15syl5eqel 2882 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V)
177, 16impbii 201 1 (⦅𝐴, 𝐵⦆ ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  Vcvv 3385  cun 3767  {csn 4368   × cxp 5310  1𝑜c1o 7792  tag bj-ctag 33454  bj-c1upl 33477  pr1 bj-cpr1 33480  bj-c2uple 33490  pr2 bj-cpr2 33494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-1o 7799  df-bj-sngl 33446  df-bj-tag 33455  df-bj-proj 33471  df-bj-1upl 33478  df-bj-pr1 33481  df-bj-2upl 33491  df-bj-pr2 33495
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator