Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1154 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1154 31609
Description: Property of Fr. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj1154 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem bnj1154
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj658 31363 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 elisset 3432 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
32bnj708 31368 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
4 df-fr 5305 . . . . . . . 8 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑏((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑅 Fr 𝐴 → ∀𝑏((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6519.21bi 2230 . . . . . 6 (𝑅 Fr 𝐴 → ((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
763impib 1148 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
8 sseq1 3851 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐴𝐵𝐴))
9 neeq1 3061 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
108, 93anbi23d 1567 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
11 raleq 3350 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexeqbi1dv 3359 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1310, 12imbi12d 336 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
147, 13mpbii 225 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
153, 14bnj593 31357 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1615bnj937 31384 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
171, 16mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1111  wal 1654   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  Vcvv 3414  wss 3798  c0 4146   class class class wbr 4875   Fr wfr 5302  w-bnj17 31297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-ext 2803
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-v 3416  df-in 3805  df-ss 3812  df-fr 5305  df-bnj17 31298
This theorem is referenced by:  bnj1190  31618
  Copyright terms: Public domain W3C validator