Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1154 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1154 33668
Description: Property of Fr. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj1154 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem bnj1154
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj658 33420 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 elisset 2816 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
32bnj708 33425 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏 𝑏 = 𝐵)
4 df-fr 5589 . . . . . . . 8 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑏((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑅 Fr 𝐴 → ∀𝑏((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6519.21bi 2183 . . . . . 6 (𝑅 Fr 𝐴 → ((𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
763impib 1117 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
8 sseq1 3970 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐴𝐵𝐴))
9 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
108, 93anbi23d 1440 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
11 raleq 3308 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexeqbi1dv 3307 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1310, 12imbi12d 345 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝑅 Fr 𝐴𝑏𝐴𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑏𝑦𝑏 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
147, 13mpbii 232 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
153, 14bnj593 33414 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑏((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1615bnj937 33440 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
171, 16mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3444  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106   Fr wfr 5586  w-bnj17 33355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2172  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-3an 1090  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-v 3446  df-in 3918  df-ss 3928  df-fr 5589  df-bnj17 33356
This theorem is referenced by:  bnj1190  33677
  Copyright terms: Public domain W3C validator