Theorem br1cossxrncnvssrres 36320

Description: ⟨𝐵, 𝐶⟩ and ⟨𝐷, 𝐸⟩ are cosets by range Cartesian product with restricted converse subsets class: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossxrncnvssrres	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝐷   𝑢,𝐸   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌

Proof of Theorem br1cossxrncnvssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br1cossxrnres 36260	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))
2		brcnvssr 36318	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ S 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑢))
3	2	elv 3407	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ S 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑢)
4	3	anbi1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
5		brcnvssr 36318	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ S 𝐸 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑢))
6	5	elv 3407	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ S 𝐸 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑢)
7	6	anbi1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷) ↔ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))
8	4, 7	anbi12i 630	. . 3 ⊢ (((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
9	8	rexbii 3163	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
10	1, 9	bitrdi 290	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3055  Vcvv 3401   ⊆ wss 3857  ⟨cop 4537   class class class wbr 5043  ^◡ccnv 5539   ↾ cres 5542   ⋉ cxrn 36026   ≀ ccoss 36027   S cssr 36030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pr 5311  ax-un 7512

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-fo 6375  df-fv 6377  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-xrn 36195  df-coss 36231  df-ssr 36310

This theorem is referenced by: (None)