Theorem br1cossxrncnvssrres 38466

Description: ⟨𝐵, 𝐶⟩ and ⟨𝐷, 𝐸⟩ are cosets by range Cartesian product with restricted converse subsets class: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossxrncnvssrres	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝐷   𝑢,𝐸   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌

Proof of Theorem br1cossxrncnvssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br1cossxrnres 38406	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))
2		brcnvssr 38464	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ S 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑢))
3	2	elv 3493	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ S 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑢)
4	3	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
5		brcnvssr 38464	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ S 𝐸 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑢))
6	5	elv 3493	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ S 𝐸 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑢)
7	6	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷) ↔ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))
8	4, 7	anbi12i 627	. . 3 ⊢ (((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
9	8	rexbii 3100	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
10	1, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   ⋉ cxrn 38136   ≀ ccoss 38137   S cssr 38140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-fo 6581  df-fv 6583  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-xrn 38329  df-coss 38369  df-ssr 38456

This theorem is referenced by: (None)