Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  br1cossxrncnvssrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem br1cossxrncnvssrres 37016
Description: 𝐵, 𝐶 and 𝐷, 𝐸 are cosets by range Cartesian product with restricted converse subsets class: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
br1cossxrncnvssrres (((𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐷𝑋𝐸𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ ( S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢𝐴 ((𝐶𝑢𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸𝑢𝑢𝑅𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝐷   𝑢,𝐸   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌

Proof of Theorem br1cossxrncnvssrres
StepHypRef Expression
1 br1cossxrnres 36956 . 2 (((𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐷𝑋𝐸𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ ( S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢𝐴 ((𝑢 S 𝐶𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢 S 𝐸𝑢𝑅𝐷))))
2 brcnvssr 37014 . . . . . 6 (𝑢 ∈ V → (𝑢 S 𝐶𝐶𝑢))
32elv 3450 . . . . 5 (𝑢 S 𝐶𝐶𝑢)
43anbi1i 625 . . . 4 ((𝑢 S 𝐶𝑢𝑅𝐵) ↔ (𝐶𝑢𝑢𝑅𝐵))
5 brcnvssr 37014 . . . . . 6 (𝑢 ∈ V → (𝑢 S 𝐸𝐸𝑢))
65elv 3450 . . . . 5 (𝑢 S 𝐸𝐸𝑢)
76anbi1i 625 . . . 4 ((𝑢 S 𝐸𝑢𝑅𝐷) ↔ (𝐸𝑢𝑢𝑅𝐷))
84, 7anbi12i 628 . . 3 (((𝑢 S 𝐶𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢 S 𝐸𝑢𝑅𝐷)) ↔ ((𝐶𝑢𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸𝑢𝑢𝑅𝐷)))
98rexbii 3094 . 2 (∃𝑢𝐴 ((𝑢 S 𝐶𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢 S 𝐸𝑢𝑅𝐷)) ↔ ∃𝑢𝐴 ((𝐶𝑢𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸𝑢𝑢𝑅𝐷)))
101, 9bitrdi 287 1 (((𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐷𝑋𝐸𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ ( S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢𝐴 ((𝐶𝑢𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸𝑢𝑢𝑅𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3444  wss 3911  cop 4593   class class class wbr 5106  ccnv 5633  cres 5636  cxrn 36679  ccoss 36680   S cssr 36683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fo 6503  df-fv 6505  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-xrn 36879  df-coss 36919  df-ssr 37006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator