Theorem br1cossxrncnvssrres 38468

Description: ⟨𝐵, 𝐶⟩ and ⟨𝐷, 𝐸⟩ are cosets by range Cartesian product with restricted converse subsets class: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossxrncnvssrres	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝐷   𝑢,𝐸   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌

Proof of Theorem br1cossxrncnvssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br1cossxrnres 38408	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))
2		brcnvssr 38466	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ S 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑢))
3	2	elv 3468	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ S 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑢)
4	3	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
5		brcnvssr 38466	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ S 𝐸 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑢))
6	5	elv 3468	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ S 𝐸 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑢)
7	6	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷) ↔ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))
8	4, 7	anbi12i 628	. . 3 ⊢ (((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
9	8	rexbii 3082	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ S 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ S 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
10	1, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ S ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ⊆ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   ⊆ wss 3931  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667   ⋉ cxrn 38140   ≀ ccoss 38141   S cssr 38144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fo 6547  df-fv 6549  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-xrn 38331  df-coss 38371  df-ssr 38458

This theorem is referenced by: (None)