Theorem ecinn0 37222

Description: Two ways of saying that the coset of 𝐴 and the coset of 𝐵 have some elements in common. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ecinn0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ecinn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecin0 37221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥)))
2	1	necon3abid 2978	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥)))
3		notnotb 315	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥)
4	3	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥))
5	4	exbii 1851	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥))
6		exanali 1863	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥))
7	5, 6	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥))
8	2, 7	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∩ cin 3948  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  [cec 8701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ec 8705

This theorem is referenced by:  disjecxrn  37259  brcoss3  37303  brcosscnv2  37343