Theorem ecinn0 38334

Description: Two ways of saying that the coset of 𝐴 and the coset of 𝐵 have some elements in common. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ecinn0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ecinn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecin0 38333	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥)))
2	1	necon3abid 2974	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥)))
3		notnotb 315	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥)
4	3	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥))
5	4	exbii 1844	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥))
6		exanali 1856	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ ¬ ¬ 𝐵𝑅𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥))
7	5, 6	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥(𝐴𝑅𝑥 → ¬ 𝐵𝑅𝑥))
8	2, 7	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1534  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∩ cin 3961  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  [cec 8741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-cnv 5696  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ec 8745

This theorem is referenced by:  disjecxrn  38370  brcoss3  38414  brcosscnv2  38454