Theorem coepr 35725

Description: Composition with the converse membership relation. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coepr	⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coepr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5829	. . . . 5 ⊢ (𝐴◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 E 𝐴)
4	1	epeli 5525	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
7	6	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
8		coep.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	1, 8	brco 5817	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
10		df-rex 3054	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
11	7, 9, 10	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   class class class wbr 5095   E cep 5522  ^◡ccnv 5622   ∘ ccom 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-eprel 5523  df-cnv 5631  df-co 5632

This theorem is referenced by:  elfuns  35888  brub  35927