Theorem coepr 35935

Description: Composition with the converse membership relation. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coepr	⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coepr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		vex 3433	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5837	. . . . 5 ⊢ (𝐴◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 E 𝐴)
4	1	epeli 5533	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
7	6	exbii 1850	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
8		coep.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	1, 8	brco 5825	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
10		df-rex 3062	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
11	7, 9, 10	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   E cep 5530  ^◡ccnv 5630   ∘ ccom 5635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-eprel 5531  df-cnv 5639  df-co 5640

This theorem is referenced by:  elfuns  36095  brub  36136