Theorem coepr 36266

Description: Composition with the converse membership relation. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coepr	⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coepr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		vex 3462	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5873	. . . . 5 ⊢ (𝐴◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 E 𝐴)
4	1	epeli 5568	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐴◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
7	6	exbii 1881	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
8		coep.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	1, 8	brco 5861	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡ E 𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
10		df-rex 3093	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝐵))
11	7, 9, 10	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴(𝑅 ∘ ◡ E )𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   E cep 5565  ^◡ccnv 5665   ∘ ccom 5670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-eprel 5566  df-cnv 5674  df-co 5675

This theorem is used by:  elfuns  36426  brub  36467