Theorem coep 35987

Description: Composition with the membership relation. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coep	⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	epeli 5527	. . . 4 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	anbi1ci 632	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
4	3	exbii 1855	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
5		coep.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5, 1	brco 5819	. 2 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵))
7		df-rex 3065	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
8	4, 6, 7	3bitr4i 304	1 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   E cep 5524   ∘ ccom 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-eprel 5525  df-co 5634

This theorem is referenced by:  dffr5  35989  brbigcup  36131  elfuns  36148  brimage  36159