Theorem coep 35218

Description: Composition with the membership relation. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coep	⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	epeli 5573	. . . 4 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	anbi1ci 625	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
4	3	exbii 1842	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
5		coep.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5, 1	brco 5861	. 2 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵))
7		df-rex 3063	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
8	4, 6, 7	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  Vcvv 3466   class class class wbr 5139   E cep 5570   ∘ ccom 5671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-br 5140  df-opab 5202  df-eprel 5571  df-co 5676

This theorem is referenced by:  dffr5  35220  brbigcup  35366  elfuns  35383  brimage  35394