Theorem coep 36610

Description: Composition with the membership relation. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
coep.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coep.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coep	⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem coep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coep.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	epeli 5552	. . . 4 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	anbi1ci 638	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
4	3	exbii 1880	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
5		coep.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5, 1	brco 5847	. 2 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥 E 𝐵))
7		df-rex 3087	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
8	4, 6, 7	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴( E ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑅𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   E cep 5549   ∘ ccom 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-eprel 5550  df-co 5659

This theorem is used by:  dffr5  36612  brbigcup  36753  elfuns  36770  brimage  36781  dffr7  36813