Theorem brco 5817

Description: Binary relation on a composition. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelco.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brco	⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem brco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelco.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelco.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		brcog 5813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5096   ∘ ccom 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-co 5631

This theorem is referenced by:  opelco  5818  cnvco  5832  cotrg  6066  resco  6206  imaco  6207  rnco  6208  rncoOLD  6209  coass  6222  dfpo2  6252  dffv2  6927  foeqcnvco  7244  f1eqcocnv  7245  ttrclss  9627  rtrclreclem3  14981  imasleval  17460  ustuqtop4  24186  metustexhalf  24498  dftr6  35894  coep  35895  coepr  35896  brtxp  36021  pprodss4v  36025  brpprod  36026  sscoid  36054  elfuns  36056  brimg  36078  brapply  36079  brcup  36080  brcap  36081  brsuccf  36083  funpartlem  36085  brrestrict  36092  dfrecs2  36093  dfrdg4  36094  cnvssco  43789  brpermmodel  45186  xpco2  49044