Theorem brco 5820

Description: Binary relation on a composition. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelco.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brco	⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem brco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelco.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelco.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		brcog 5816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-co 5634

This theorem is referenced by:  opelco  5821  cnvco  5835  cotrg  6069  resco  6209  imaco  6210  rnco  6211  rncoOLD  6212  coass  6225  dfpo2  6255  dffv2  6930  foeqcnvco  7249  f1eqcocnv  7250  ttrclss  9635  rtrclreclem3  15016  imasleval  17499  ustuqtop4  24222  metustexhalf  24534  dftr6  35952  coep  35953  coepr  35954  brtxp  36079  pprodss4v  36083  brpprod  36084  sscoid  36112  elfuns  36114  brimg  36136  brapply  36137  brcup  36138  brcap  36139  brsuccf  36141  funpartlem  36143  brrestrict  36150  dfrecs2  36151  dfrdg4  36152  cnvssco  44054  brpermmodel  45451  xpco2  49347