Theorem dfcnvrefrel5 37398

Description: Alternate definition of the converse reflexive relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 25-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfcnvrefrel5	⊢ ( CnvRefRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dfcnvrefrel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnvrefrel4 37397	. 2 ⊢ ( CnvRefRel 𝑅 ↔ (𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2		cnvref5 37215	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑥 = 𝑦)))
3	1, 2	bianim 37091	1 ⊢ ( CnvRefRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   I cid 5573  Rel wrel 5681   CnvRefRel wcnvrefrel 37047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-cnvrefrel 37392

This theorem is referenced by:  dfantisymrel5  37627