Theorem brcnvep 38525

Description: The converse of the binary epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem brcnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rele 5784	. . 3 ⊢ Rel E
2	1	relbrcnv 6074	. 2 ⊢ (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 E 𝐴)
3		epelg 5533	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 E 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	2, 3	bitrid 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   E cep 5531  ^◡ccnv 5631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5532  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640

This theorem is referenced by:  brcnvepres  38527  eccnvepres  38541  eleccnvep  38542  cnvepres  38559  brxrncnvep  38641  dmcnvep  38643  ecxrncnvep  38664  rnxrncnvepres  38678  dfsucmap3  38718  coss2cnvepres  38763  dfcoels  38775  br1cossincnvepres  38795  br1cossxrncnvepres  38797  dfeldisj5  39068