Theorem brcnvep 38843

Description: The converse of the binary epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem brcnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rele 5815	. . 3 ⊢ Rel E
2	1	relbrcnv 6110	. 2 ⊢ (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 E 𝐴)
3		epelg 5563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 E 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	2, 3	bitrid 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   E cep 5561  ^◡ccnv 5661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-eprel 5562  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670

This theorem is referenced by:  brcnvepres  38845  eccnvepres  38859  eleccnvep  38860  cnvepres  38877  brxrncnvep  38959  dmcnvep  38961  ecxrncnvep  38982  rnxrncnvepres  38996  dfsucmap3  39036  coss2cnvepres  39081  dfcoels  39093  br1cossincnvepres  39113  br1cossxrncnvepres  39115  dfeldisj5  39386