Theorem brcnvep 38591

Description: The converse of the binary epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem brcnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rele 5783	. . 3 ⊢ Rel E
2	1	relbrcnv 6072	. 2 ⊢ (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 E 𝐴)
3		epelg 5532	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 E 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	2, 3	bitrid 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   E cep 5530  ^◡ccnv 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639

This theorem is referenced by:  brcnvepres  38593  eccnvepres  38607  eleccnvep  38608  cnvepres  38625  brxrncnvep  38707  dmcnvep  38709  ecxrncnvep  38730  rnxrncnvepres  38744  dfsucmap3  38784  coss2cnvepres  38829  dfcoels  38841  br1cossincnvepres  38861  br1cossxrncnvepres  38863  dfeldisj5  39134